2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基

3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)目标定位重点难点1.能根据导数定义，求常见函数的导数2．能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数重点：基本初等函数的导数公式的应用难点：求对数函数和指数函数的导数基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝___________f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝___________f(x)＝sinxf′(x)＝___________f(x)＝cosxf′(x)＝___________0αxα－1cosx－sinxf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝____________f(x)＝exf′(x)＝____________f(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝____________f(x)＝lnxf′(x)＝____________axlnaex1xlna1x1．若y＝cos2π3，则y′等于()A．－32B．－12C．0D．12【答案】C2．已知函数f(x)＝sinx，则f′π3＝()A．0B．12C．－12D．32【答案】B3．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为()A．3x－y－2＝0B．2x－y－1＝0C．x－y＝0D．3x－y＝0【答案】A4．给出下列命题，其中正确命题是________．(填序号)①任何常数的导数都是零；②直线y＝x上任意一点处的切线方程是这条直线本身；③曲线y＝1x上任意一点处的切线斜率都是负值；④直线y＝2x和抛物线y＝x2在x∈(0，＋∞)上函数值增长的速度一样快．【答案】①②③【解题探究】用基本初等函数的导数公式求导．基本初等函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x100；(2)y＝x；(3)y＝5x3；(4)y＝1x2；(5)y＝ex；(6)y＝log5x.【解析】(1)y′＝(x100)′＝100x99.(2)y′＝x′＝1.(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x35－1＝35x－25.(4)y′＝1x2′＝(x－2)′＝－2x－3＝－2x3.(5)y′＝(ex)′＝ex.(6)y′＝(log5x)′＝1xln5.8求简单函数的导函数有两种方法：一是用导数的定义求导，但运算比较繁杂；二是用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时要根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数：(1)y＝xx；(2)y＝sinx;(3)y＝5x；(4)y＝lnx.【解析】(1)y′＝(xx)′＝(x32)′＝32x12＝32x.(2)y′＝(sinx)′＝cosx.(3)y′＝(5x)′＝5xln5.(4)y′＝(lnx)′＝1x.导数的应用【例2】已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程．【解题探究】用求导方法求出斜率即可进一步求出切线方程．解：∵y＝1x，∴y′＝－1x2.(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝1x在点P(1,1)处的导数，即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上，则可设过该点的切线的切点为Aa，1a，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－1a2，则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①将Q(1,0)代入方程，得0－1a＝－1a2(1－a)．解得a＝12.代入①，整理得切线方程为y＝－4x＋4.8(1)利用导数的几何意义解决切线问题时，若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．2．已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：由于y＝sinx，y＝cosx，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，则两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的．∴这两条曲线不存在满足条件的公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．求导公式应用错误【示例】给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②sinπ3′＝cosπ3；③若y＝1x2，则y′＝－1x；④1x′＝－12xx.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【错解】C【错因分析】对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是理解，如sinπ3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现sinπ3′＝cosπ3这样的错误结果；二是准确记忆．【正解】因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sinπ3＝32，而32′＝0，所以②错误；1x2′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；1x′＝(x－12)′＝－12x－32＝－12xx，所以④正确．故选B.【警示】求导时要注意原函数是否为常数，常数的导数为0.1．熟记4种常见函数的导数和8个求导公式．2．用求导公式求函数的导数比用导数定义求函数的导数更简便快捷．3．用求导公式求出函数的导数后，可求函数在任一点x＝x0处的导数，从而可以研究函数在任给的一点处的导数的几何意义，以及函数在这一点附近的变化情况．1．已知函数y＝sinx，其导数是()A．偶函数B．奇函数C．增函数D．减函数【答案】A2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD．1e【答案】A3.已知函数f(x)＝1x2，则f′12＝()A．－14B．－18C．－8D．－16【答案】D4．若f(x)＝log2x且f′(a)＝1，则a＝________.【答案】1ln2