2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念课件 新人教A版选修1-

3.1.2导数的概念目标定位重点难点1.会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时加速度2．理解并掌握导数的概念，学会求函数在某一点处导数的方法重点：导数的定义和求导方法难点：导数概念的理解1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为________．物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率st0＋Δt－st0Δt当Δt→0时的极限，即v＝limΔt→0ΔsΔt＝___________________.瞬时速度limΔt→0st0＋Δt－st0Δt2．瞬时加速度一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率vt0＋Δt－vt0Δt时，如果当Δt→0时，vt0＋Δt－vt0Δt无限趋近于一个______，那么这个常数称为物体在t＝t0时的______________．常数瞬时加速度3．瞬时变化率一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝____________________.4．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是________________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的________，记为________或__________，即f′(x0)＝y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝________________.limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx导数f′(x0)y′|x＝x0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx1．设物体直线运动的位移为s(t)，给出下面四个命题：①ΔsΔt表示平均速度；②limΔt→0ΔsΔt表示瞬时速度；③ΔsΔt的值不变；④limΔt→0ΔsΔt的值不变．其中正确命题的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C2．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是()A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫函数的增量B.ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx叫函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C.fx0＋Δx－fx0Δx叫函数y＝f(x)在x0处的导数D.limx→x0fx－fx0x－x0叫函数y＝f(x)在x0处的导数【答案】C3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t＝3秒时的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒【答案】C4．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.【答案】1【例1】一辆汽车按规律s＝2t2＋3作直线运动，求这辆汽车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)．【解题探究】求物体运动的瞬时速度，就是求该物体在某一时间点处的位移的导数．求瞬时速度【解析】设这辆汽车在t＝2附近的时间变化量为Δt，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，ΔsΔt＝8＋2Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(8＋2Δt)＝8.所以这辆汽车在t＝2时的瞬时速度为8m/s.81．求运动物体瞬时速度的步骤：(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v－＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法：(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．1．质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．【解析】∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴ΔsΔt＝4a＋aΔt.∴在t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，即4a＝8.∴a＝2.【例2】试求函数f(x)＝x(2－|x|)在x＝0处的导数值f′(0)．【解题探究】利用导数的定义求解．函数在某点处的导数【解析】因为f0＋Δx－f0Δx＝fΔxΔx＝Δx2－|Δx|Δx＝2－|Δx|，所以f′(0)＝limΔx→0(2－|Δx|)＝2.81．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx.(3)求极限limΔx→0ΔyΔx.82．瞬时变化率的变形形式：limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝limΔx→0fx0＋nΔx－fx0nΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0－Δx2Δx＝f′(x0)．2．试求函数f(x)＝x2在x＝1和x＝－1处的导数值．【解析】f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→01＋Δx2－12Δx＝limΔx→0(Δx＋2)＝2.f′(－1)＝limΔx→0f－1＋Δx－f－1Δx＝limΔx→0－1＋Δx2－－12Δx＝limΔx→0(Δx－2)＝－2.对导数定义式的理解易错【示例】已知a＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，b＝limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx，c＝limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx，d＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0－Δx2Δx，e＝limΔx→0fx－fx0x－x0，则b，c，d，e中与a相等的是()A．c，dB．d，eC．b，eD．c，e【错解】A，C或D【错因分析】对导数定义式中的Δx，x0等的含义理解不透彻，无法识别出定义式的各种变形．【正解】a＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx是函数f(x)在x＝x0处的导数的标准定义式，故a＝f′(x0)．b＝limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx＝－limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝－f′(x0)．c＝limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2f′(x0)．d＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0－Δx2Δx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0－Δxx0＋Δx－x0－Δx＝f′(x0)．e＝limΔx→0fx－fx0x－x0，把x变成x0＋Δx即得到标准定义式，故e＝f′(x0)．故a＝d＝e.故选B.【警示】fx0＋Δx－fx0Δx中的x0是常数，Δx是可趋近于0的变量，其形式可以变化，如变成－Δx,2Δx等，要正确表示出相应的导数，应保持分子和分母同步变化．1．函数y＝f(x)在某一点x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，也就是函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率在Δx→0时的值．2．用定义求函数在某一点处导数的步骤：①求平均变化率，ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；②取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.1.设函数f(x)可导，则limΔx→0f1＋Δx－f13Δx＝()A．f′(1)B．3f′(1)C．13f′(1)D．f′(3)【答案】C【解析】limΔx→0f1＋Δx－f13Δx＝13limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝13f′(1)．故选C.2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图象是()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线【答案】A【解析】当f(x)＝b时，瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0b－bΔx＝0，∴f(x)的图象为一条直线．3．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么当x＝1时原油温度的瞬时变化率是()A．8B．203C．－1D．－8【答案】C【解析】Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝13(1＋Δx)3－(1＋Δx)2＋8－13×13－12＋8＝13(Δx)3－Δx，所以ΔyΔx＝13(Δx)2－1.所以f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝－1.4．任一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2，则物体的初速度是________m/s.【答案】3【解析】初速度其实就是t＝0s时的瞬时速度，根据瞬时速度的定义，知v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s0＋Δt－s0Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，易该物体的初速度为3m/s.