2019-2020学年高中数学 第三章 不等式章末归纳整合课件 新人教A版必修5

章末归纳整合不等式与函数、方程三者密不可分、相互转化，有关求参数的取值范围，实际应用问题等，都要考虑函数与方程思想．函数与方程思想【例1】设a∈R，关于x的不等式7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＜0的解集为(α，β)且0＜α＜1＜β＜2，求a的取值范围．【分析】利用二次函数的图象解答．【解析】令f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，其图象是开口向上的抛物线，与x轴的两交点分别在(0,1)和(1,2)内，如图所示．则f00，f10，f20，即a2－a－20，7－a＋13＋a2－a－20，28－2a＋13＋a2－a－20，解得－2a－1或3a4，∴a∈(－2，－1)∪(3,4)．【点评】不等式、函数与方程有着密切的联系，它们之间可以相互转化，尤其是函数的图象直观、形象，有助于不等式、方程求解．【例2】关于x的方程x2＋(a＋2b)x＋3a＋b＋1＝0的两个实根分别在区间(－1，0)和(0,1)上，则a＋b的取值范围为()A．－35，15B．－25，15C．－35，－25D．－15，15【解析】令f(x)＝x2＋(a＋2b)x＋3a＋b＋1，由题意可得f0＝3a＋b＋1＜0，f1＝4a＋3b＋2＞0，f－1＝2a－b＋2＞0.画出不等式组表示的可行域，令目标函数z＝a＋b，如图所示：由3a＋b＋1＝0，2a－b＋2＝0，求得点A－35，45；由3a＋b＋1＝0，4a＋3b＋2＝0，求得点C－15，－25.当直线z＝a＋b经过点A时z取得取大值，zmax＝15；当直线z＝a＋b经过点C时z取得取小值，zmin＝－35，故z＝a＋b的取值范围为－35，15.故选A．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，通过与函数、不等式的联系来求解，也体现了转化与化归、数形结合的思想．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是()A．(－5，－4]B．(－∞，－4]C．(－∞，－2]D．(－∞，－5)∪(－5，－4]【答案】A【解析】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为x＝2－m2，由已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，故有2－m2＞2，f2＞0，Δ≥0，即2－m2＞2，4＋2m－4＋5－m＞0，m－22－45－m≥0，解得－5＜m≤－4，∴m的取值范围是(－5，－4]．故选A．解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论，分类讨论的原因一般有以下两种：一是对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起讨论；二是对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．分类讨论思想【例3】解关于x的不等式ax2－x－(a＋1)＜0.【分析】讨论a＝0时，a＞0时，a＜0时，原不等式的解集情况，从而求出答案来．【解析】当a＝0时，原不等式化为－x－1＜0，解得x＞－1.当a＞0时，原不等式化为(x＋1)[ax－(a＋1)]＜0，即(x＋1)x－1－1a＜0，解得－1＜x＜1＋1a.当a＜0时，原不等式化为(x＋1)x－1－1a＞0，若a＝－12，则1＋1a＝－1，∴x≠－1；若a＜－12，则1＋1a＞－1，∴x＞1＋1a或x＜－1；若－12＜a＜0，则1＋1a＜－1，∴x＞－1或x＜1＋1a.综上，a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞－1}；a＞0时，原不等式的解集为x|－1＜x＜1＋1a；－12＜a＜0时，原不等式的解集为x|x＞－1或x＜1＋1a；a＝－12时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；a＜－12时，原不等式的解集为x|x＞1＋1a或x＜－1.【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题．解关于x的不等式x2－(2＋a)x＋2a＜0.【解析】不等式x2－(2＋a)x＋2a＜0可化为(x－2)(x－a)＜0，所以，当a＝2时，不等式为(x－2)2＜0，解集为∅；当a＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜a}；当a＜2时，不等式的解集为{x|a＜x＜2}．数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数与形是相互联系、相互制约的，在一定条件下是可以相互转化的．数形结合思想【例4】(2019年河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≤0，x－y≤0，x2＋y2≤r2(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若点(x，y)在上述平面区域内，则z＝x＋y＋1x＋3的最小值为()A．－1B．－52＋17C．13D．－75【解析】作出不等式组表示的平面区域如图所示．由题意知14πr2＝π，解得r＝2.z＝x＋y＋1x＋3＝1＋y－2x＋3，y－2x＋3表示平面区域内的点(x，y)与点P(－3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x，y)与点P的连线与圆x2＋y2＝r2相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有|3k＋2|k2＋1＝2，解得k＝－125或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－125＝－75.故选D．【点评】在线性规划问题中，用平面区域来表示不等式组的解集，是数形结合的典范．已知变量x，y满足约束条件2x－y≤0，x－2y＋3≥0，x≥0，则z＝log2(x＋y＋5)的最大值为()A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】如图，可行域为一个三角形，验证知在点A(1,2)时，z1＝x＋y＋5取得最大值8，∴z最大是3，故选B．不等与相等是相对的，在一定条件下可以相互转化，解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程，无论是哪种类型的不等式，其求解过程及其思路都是等价转化．转化与化归思想【例5】已知函数f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)＞0，求实数k的取值范围．【分析】f(x)不是二次函数，但令t＝3x，则f(x)可转化为二次函数，可进一步求解．【解析】设3x＝t，当x∈R时，t＞0，问题转化为当t＞0时，t2－(k＋1)t＋2＞0恒成立，即k＋1＜t2＋2t恒成立⇔k＋1＜t2＋2tmin.而t2＋2t＝t＋2t≥22，∴k＋1＜22，∴k＜22－1.已知不等式x2－2x＋a＞0对任意实数x∈[2,3]恒成立，则实数a的取值范围为__________．【答案】(0，＋∞)【解析】令f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．又不等式x2－2x＋a＞0对任意实数x∈[2,3]恒成立，∴f(2)＞0，即4－4＋a＞0，解得a＞0.故实数a的取值范围是(0，＋∞)．本章内容有三个高频考点：一元二次不等式的解法，简单的线性规划，基本不等式求最值．这一部分内容有时会贯穿其他章节中，或者是单独命题，考查形式是以选择或者填空的形式出现，解决此类问题需要借助于等价转化、分类讨论等数学思想．1．(2018年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)【答案】D【解析】画出f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0的大致图象如图所示．由图象及f(x＋1)＜f(2x)，得2x＜0＜x＋1或2x＜x＋1≤0，解得x∈(－∞，0)．2．(2017年新课标Ⅲ)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3,0]B．[－3,2]C．[0,2]D．[0,3]【答案】B【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2；当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3.所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．3．(2018年新课标Ⅱ)若x，y满足约束条件x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________．【答案】9【解析】作出可行域如图．z＝x＋y可化为y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z过C(5,4)时，z取得最大值，最大值为z＝5＋4＝9.4．(2018年天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．【答案】14【解析】∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋18b＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝22a－3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当a＝－3b，a－3b＋6＝0，即a＝－3，b＝1时取到等号．5．(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．【答案】30【解析】由题意，一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝4900x＋x≥8900x·x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.6．(2018年江苏)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．【答案】9【解析】如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴12ac·sin120°＝12c×1×sin60°＋12a×1×sin60°，∴ac＝a＋c.∴1a＋1c＝1.∴4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝ca＋4ac＋5≥2ca·4ac＋5＝9，当且仅当ca＝4ac，即c＝2a＝3时取等号．