2019-2020学年高中数学 第三章 不等式单元质量测评课件 新人教A版必修5

第三章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a0，－1b0，则()A．－aab0B．－aab0C．aabab2D．abaab2解析∵a0，－1b0，∴ab0，aab20，故A，C，D都不正确，正确答案为B．2．不等式组4x＋3y≤12，x－y＞－1，y≥0表示的平面区域内整点的个数是()A．2个B．4个C．6个D．8个解析画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．3．不等式x2－x－6x－10的解集为()A．{x|x－2或x3}B．{x|x－2或1x3}C．{x|－2x1或x3}D．{x|－2x1或1x3}解析原不等式可化为(x＋2)·(x－1)(x－3)0，如图由穿根法可得该不等式的解集为{x|－2x1或x3}．4．若a0，b0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A．1ab12B．1a＋1b≤1C．ab≥2D．1a2＋b2≤18解析∵a0，b0，a＋b＝4，∴ab≤a＋b2＝2.∴ab≤4.∴1ab≥14.∴1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，故A，B，C均错误．故选D．5．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是()A．a≤－4B．a≥－4C．a≥－12D．a≤－12解析∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在x＝4时，取最大值－4，当a≤－4时，2x2－8x－4≥a存在解．6．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是()A．(－5，－4]B．(－∞，－4]C．(－∞，－2)D．(－∞，－5)∪(－5，－4]解析令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，要使f(x)＝0的两根都大于2，则Δ＝m－22－45－m≥0，f20，－m－222，解得m2≥16，m－5，m－2⇒－5m≤－4.故选A．7．已知某线性规划问题的约束条件是y≤x，3y≥x，x＋y≤4，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是()A．z＝2x－yB．z＝2x＋yC．z＝－12x－yD．z＝－2x＋y解析作出不等式组对应的平面区域如图：A中，由z＝2x－y得y＝2x－z，平移直线可得，当直线经过点A(3,1)时，截距最小，此时z最大；B中，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线可得，当直线经过点A(3,1)时，截距最大，此时z最大；C中，由z＝－12x－y得y＝－12x－z，平移直线可得，当直线经过点B时，截距最大，此时z最小；D中，由z＝－2x＋y得y＝2x＋z，平移直线可得，当直线经过点A(3，1)时，截距最小，此时z最小，满足条件．故选D．8．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有()A．最小值12和最大值1B．最小值34和最大值1C．最小值12和最大值34D．最小值1解析∵x2y2≤x2＋y222＝14，当且仅当x2＝y2＝12时，等号成立，∴1－x2y2≥34≥0，∴34≤1－x2y2≤1.故(1－xy)(1＋xy)有最小值34和最大值1.9．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(ab)，且α，β(αβ)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是()A．aαβbB．aαbβC．αabβD．αaβb解析∵α，β为f(x)＝0的两根，∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．∴f(x)图象可由g(x)图象向上移2个单位得到，由图知选A．10．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为()A．1B．2C．22D．4解析设直线l为xa＋yb＝1(a0，b0)，则2a＋1b＝1，故1＝2a＋1b≥22a·1b＝22ab，即ab≥8，当且仅当a＝2b＝4时，等号成立．于是△OAB的面积为S＝12ab≥4.故选D．11．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运()A．3年B．4年C．5年D．6年解析设二次函数为y＝a(x－6)2＋11.又图象过点(4,7)，代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，∴y＝－x2＋12x－25.设年平均利润为m，则m＝yx＝－x－25x＋12≤2，当且仅当x＝25x，即x＝5时取等号．12．设x，y满足约束条件y－1≥0，x－y＋2≥0，x＋4y－8≤0，且目标函数z＝ax＋y仅在点(4,1)处取得最大值，则原点O到直线ax－y＋17＝0的距离d的取值范围是()A．(417，17]B．(0,417)C．1722，17D．0，1722解析由约束条件y－1≥0，x－y＋2≥0，x＋4y－8≤0作出可行域，如下图可行域，∵目标函数z＝ax＋y仅在点A(4,1)取最大值，当a＝0时，z＝y仅在点(0,2)取最大值，不成立；当a0时，目标函数z＝ax＋y的斜率k＝－a0，目标函数在(4,1)取不到最大值．当a0时，目标函数z＝ax＋y的斜率k＝－a，小于直线x＋4y－8＝0的斜率－14，∴a14.综上，a14.原点O到直线ax－y＋17＝0的距离d＝171＋a2417，则原点O到直线ax－y＋17＝0的距离d的取值范围是(0,417)．故选B．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．x＜y解析因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.14．若关于x的不等式ax2－6x＋a20的解集是(1，m)，则m＝________.2解析由题意知a0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2，∴不等式为2x2－6x＋40，即x2－3x＋20，∴1x2，∴m＝2.15．若不等式x2|x－1|＋a在区间(－3,3)上恒成立，则实数a的取值范围为______________．[7，＋∞)解析由x2|x－1|＋a得ax2－|x－1|，令f(x)＝x2－|x－1|＝x2－x＋1，1≤x3，x2＋x－1，－3x1，∴f(x)在－3，－12上单调递减，在－12，3上单调递增，∵f(－3)＝5，f(3)＝7，∴f(x)7，∴a的取值范围是[7，＋∞)．故答案为[7，＋∞)．16．不等式(x2－x＋1)(x2－x－1)0的解集是______________________________________．{xx1－52或x1＋52解析∵x2－x＋1＝x－122＋340，∴(x2－x－1)(x2－x＋1)0可转化为解不等式x2－x－10，由求根公式知，x1＝1－52，x2＝1＋52.∴x2－x－10的解集是{xx＜1－52或x＞1＋52.∴原不等式的解集为{xx＜1－52或x＞1＋52.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长．解设一条直角边长为xcm(0x10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，面积S＝12x(10－x)≤12x＋10－x22＝252(cm2)，等号在x＝10－x，即x＝5时成立，∴面积最大时斜边长L＝x2＋10－x2＝52＋52＝52(cm)．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.(1)求不等式g(x)0的解集；(2)若对一切x2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．解(1)g(x)＝2x2－4x－160，∴(2x＋4)(x－4)0，∴－2x4，∴不等式g(x)0的解集为{x|－2x4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8，当x2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15对一切x2恒成立．∴x2－4x＋7x－1≥m对一切x2恒成立，又x－11，x2－4x＋7x－1＝x－1＋4x－1－2≥2x－1×4x－1－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，∴实数m的取值范围是(－∞，2]．19．(本小题满分12分)实系数方程x2＋ax＋2b＝0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求b－2a－1的取值范围．解令f(x)＝x2＋ax＋2b，则方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内另一个根在(1,2)内，即为f(x)与x轴的交点分别位于(0,1)和(1,2)之间，从而有f00，f10，f20，即b0，1＋a＋2b0，2＋a＋b0.则点(a，b)对应的区域为图中三角形区域ABD，其中A(－3,1)，B(－1，0)，D(－2，0)．而b－2a－1的几何意义为区域内的点(a，b)与C(1,2)连线的斜率，则有14＝kACb－2a－1kBC＝1，即b－2a－1的取值范围为14，1.20．(本小题满分12分)实数x，y满足x－y＋1≤0，x0，y≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．解由x－y＋1≤0，x0，y≤2作出可行域如图中阴影部分所示．(1)z＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)．而由x－y＋1＝0，y＝2，得B(1,2)，则kOB＝21＝2.∴zmax不存在，zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．因此x2＋y2的范围最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2.由x－y＋1＝0，x＝0，得A(0,1)，∴|OA|2＝(02＋12)2＝1，|OB|2＝(12＋22)2＝5.∴z的最大值为5，没有最小值．故z的取值范围是(1,5]．21．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(－1)＝0，是否存在常数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤12(x2＋1)对一切实数x恒成立？并求出a，b，c的值．解已知f(－1)＝a－b＋c＝0，①若存在常数a，b，c，使得x≤f(x)≤12(x2＋1)恒成立，则令x＝1，得1≤f(1)≤1.∴f(1)＝a＋b＋c＝1.②由①②，得b＝12，a＋c＝12，则f(x)＝ax2＋12x＋12－A．∵x≤f(x)≤12(x2＋1)对一切实数x都成立，∴ax2＋12x＋12－a≥x，ax2＋12x＋12－a≤12x2＋1恒成立，即ax2－12x＋12－a≥0，a－12x2＋12x－a≤0恒成立．a．对于不等式ax2－12x＋12－a≥0恒成立，则a＞0，Δ＝4a2－2a＋14≤0，即a＞0