2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 第4节 基本不等式课件 新人教A版必修5

[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P97～P98，回答下列问题：阅读教材P97的“探究”内容，思考下列问题：(1)我们把“风车”造型抽象成平面图形，如图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？提示：a2＋b2，a2＋b2，2ab．(2)根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？提示：a2＋b22ab．(3)存在4个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？提示：当直角三角形变成等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2＋b2＝2ab.2．归纳总结，核心必记(1)重要不等式对于任意实数a、b有a2＋b22ab，当且仅当时，等号成立．(2)基本不等式如果a0，b0那么aba＋b2，当且仅当时，等号成立．≥a＝ba＝b≤[问题思考](1)如果a0，b0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？提示：a＋b≥2ab.(2)不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？提示：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b2成立的条件是a，b均为正实数．(3)a＋b2≥ab与a＋b22≥ab是等价的吗？提示：不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，b∈R．[课前反思]1．重要不等式的内容及不等式成立的条件是什么？；2．基本不等式的内容及不等式成立的条件是什么？；3．重要不等式和基本不等式的适用条件有什么不同？．讲一讲1．(1)已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋cab＋bc＋ca.[尝试解答](1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)∵a0，b0，c0，∴a＋b≥2ab0，b＋c≥2bc0，c＋a≥2ca0.∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋cab＋bc＋ca.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．练一练1．(1)求证：4a－3＋a≥7(其中a3)；(2)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.证明：(1)4a－3＋a＝4a－3＋a－3＋3.∵a3，∴a－30.由基本不等式，得4a－3＋a＝4a－3＋a－3＋3≥24a－3·a－3＋3＝24＋3＝7.当且仅当4a－3＝a－3，即a＝5时，等号成立．(2)∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立.[思考1]已知x，y都是正数，若x＋y＝s(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？名师指津：xy有最大值．由基本不等式，得s＝x＋y≥2xy，所以xy≤s24，当x＝y时，积xy取得最大值s24.[思考2]已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？名师指津：x＋y有最小值．由基本不等式，得x＋y≥2xy＝2p.当x＝y时，x＋y取得最小值2p.讲一讲2．(1)已知m，n0且m＋n＝16，求12mn的最大值；(2)已知x3，求f(x)＝x＋4x－3的最小值；(3)设x0，y0，且2x＋y＝1，求1x＋1y的最小值．[尝试解答](1)∵m，n0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤m＋n22＝1622＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.∴12mn的最大值为32.(2)∵x3，∴x－30，4x－30，于是f(x)＝x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2（x－3）·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3即x＝5时，f(x)取到最小值7.(3)法一：∵x0，y0，2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋2yx·2xy＝3＋22，当且仅当yx＝2xy，即y＝2x时，等号成立，解得x＝1－22，y＝2－1，∴当x＝1－22，y＝2－1时，1x＋1y有最小值3＋22.法二：1x＋1y＝1x＋1y·1＝1x＋1y(2x＋y)＝3＋2xy＋yx≥3＋2yx·2xy＝3＋22，以下同解法一．(1)利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：①一正：符合基本不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a0，b0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．练一练2．(1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x0，y0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值；(3)已知x0，y0，1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．解：(1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a0，b0，因此由基本不等式可得a＋b≥2ab＝2100＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.(2)∵x0，y0，2x＋3y＝6，∴xy＝16(2x·3y)≤16·2x＋3y22＝16·622＝32，当且仅当2x＝3y，即x＝32，y＝1时，xy取到最大值32.(3)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)×1x＋9y＝1＋9xy＋yx＋9＝yx＋9xy＋10，又∵x0，y0，∴yx＋9xy＋10≥2yx×9xy＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，等号成立．由y＝3x，1x＋9y＝1，得x＝4，y＝12，即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.讲一讲3.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路点拨]根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．[尝试解答](1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为S，则S＝xy.由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立，由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝616y＋y≥6×216y·y＝48，当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．基本不等式解决实际问题的思路方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数．(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值．(4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案．练一练3．某森林出现火灾，火势正以100m2/min的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去，在火灾发生5min后到达救火现场．已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林损失费为60元，则应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？解：设派x名消防队员前去救火，用tmin将火扑灭，总损失为y元，则t＝5×10050x－100＝10x－2(x2)．y＝125tx＋100x＋60(500＋100t)＝125x·10x－2＋100x＋30000＋60000x－2＝1250·x－2＋2x－2＋100(x－2＋2)＋30000＋60000x－2＝31450＋100(x－2)＋62500x－2≥31450＋2100×62500＝36450.当且仅当100(x－2)＝62500x－2，即x＝27时，y有最小值36450.所以应该派27名消防队员去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————1．本节课的重点是利用基本不等式求最值，难点是基本不等式在实际问题中的应用．2．本节课重点掌握的规律方法(1)由基本不等式变形得到的常见的结论①ab≤a＋b22≤a2＋b22；②ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b∈(0，＋∞))；③ba＋ab≥2(a，b同号)；④(a＋b)1a＋1b≥4(a，b∈(0，＋∞))；⑤a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)利用基本不等式求最值的方法及注意事项①利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”——各项为正数；“二定”——“和”或“积”为定值；“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．②利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．③在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋px(p0)的单调性求得函数的最值．