2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 第3节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第

第2课时利用简单的线性规划求最值[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P87～P91，回答下列问题：某工厂用A、B两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产1件甲种产品获利2万元，生产1件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？(1)如果设甲、乙两种产品分别生产x、y件，则如何用不等式组表示上述问题中的限制条件？提示：由已知条件可得二元一次不等式组：x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0.(2)你能画出不等式组所表示的平面区域吗？提示：如图，区域内所有坐标为整数的点P(x，y)，安排生产任务x，y都是有意义的，就代表所有可能的日生产安排．(3)如果设生产利润为z，则z与x、y之间有什么关系？提示：z＝2x＋3y.(4)采用哪种生产安排利润最大问题应当转化成怎样的问题来解答？提示：转化为在不等式组x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0的条件下，求z的最大值是多少．(5)若把z＝2x＋3y变形为y＝－23x＋z3，这是斜率为定值－23，在y轴上的截距为z3的直线，当点P在可允许的取值范围变化时，如何求z的最大值？提示：如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线，因而确定出唯一截距z3，可以看到，直线y＝－23x＋z3与不等式组(1)表示的区域的交点坐标满足不等式组(1)，而且当截距z3最大时，z取得最大值．因此，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距z3最大．由图可以看出，当直线y＝－23x＋z3经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4，2)时，截距z3的值最大，最大值为143，这时2x＋3y＝14，所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.2．归纳总结，核心必记线性规划的有关概念名称意义约束条件关于变量x、y的.线性约束条件由x、y的不等式组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式不等式(组)一次线性目标函数关于x，y的解析式可行解满足的解(x，y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得的可行解线性规划问题在条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一次线性约束条件可行解最大值或最小值线性约束[问题思考]线性目标函数z＝ax＋by的最值与其截距有什么关系？对b的符号要注意什么？提示：线性目标函数z＝ax＋by与y轴的交点为0，zb，z＝b·zb＝b×(线性目标函数在y轴上的截距)．故对b的符号一定要注意：当b0时，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小，当b0时，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大．[课前反思]1．约束条件和线性约束条件的定义是：；2．目标函数和线性目标函数的定义是：；3．可行解、可行域及最优解的定义是什么？它们有什么关系？．讲一讲1．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．[尝试解答]作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z＝3x＋2y，得y＝－32x＋z2.作直线l0：y＝－32x.平移直线l0，当直线y＝－32x＋z2过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.[答案]6用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤(1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．练一练1．设变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A.－32，6B.－32，－1C．[－1，6]D.－6，32解析：选A约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y＝3x－z斜率为3.由图象知当直线y＝3x－z经过A(2，0)时，z取最大值6，当直线y＝3x－z经过B12，3时，z取最小值－32，∴z＝3x－y的取值范围为－32，6，故选A.一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想解决．[思考1]目标函数z＝x2＋y2和z＝(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是什么？名师指津：z＝x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到坐标原点的距离的平方；z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域内的点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方．[思考2]目标函数z＝y－bx－a(x≠a)和z＝ay＋bcx＋d(ac≠0)表示的几何意义是什么？名师指津：z＝y－bx－a(x≠a)表示可行域内的点(x，y)与定点(a，b)的连线的斜率；z＝ay＋bcx＋d＝ac·y－－bax－－dc，表示可行域内的点(x，y)与定点－dc，－ba的连线的斜率的ac倍．[思考3]z＝|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0)的几何意义是什么？名师指津：z＝|ax＋by＋c|＝a2＋b2·|ax＋bx＋c|a2＋b2，表示可行域内的点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0的距离的a2＋b2倍．讲一讲2．已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝2y＋1x＋1的取值范围．[尝试解答]作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1，3)、B(3，1)、C(7，9)．(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值为|MN|2＝92.(2)z＝2·y－－12x－（－1）表示可行域内任一点(x，y)与定点Q－1，－12连线的斜率的两倍，且kQA＝74，kQB＝38，所以z的取值范围为34，72.(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)当斜率k，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．练一练2．若实数x，y满足x－y＋1≥0，x＋y－3≥0，3x－y－5≤0，求：(1)z＝2x＋y的最小值；(2)z＝x2＋y2的取值范围；(3)z＝y＋xx的最大值．解：作出满足已知条件的可行域为△ABC内(及边界)区域，如图所示，其中A(1,2)，B(2,1)，C(3,4)．(1)目标函数z＝2x＋y，表示直线l：y＝－2x＋z，z表示该直线的纵截距，当l过点A时纵截距有最小值，故zmin＝4.(2)目标函数z＝x2＋y2表示区域内的点到坐标系原点的距离的平方，又原点O到AB的距离d＝|3|2＝322，且垂足D32，32在线段AB上，故OD2≤z≤OC2，即z∈92，25.(3)目标函数z＝yx＋1，记k＝yx.则k表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，则kmax＝2，即zmax＝y＋xxmax＝3.讲一讲3．设m1，约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为()A．(1，1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1，3)D．(3，＋∞)[思路点拨]作出图形，数形结合分析[尝试解答]∵m1，由y≥x，y≤mx，x＋y≤1画出可行域，如图：对于目标函数：z＝x＋my，即y＝－1mx＋zm，∵m1，∴－1m∈(－1，0)，∴当直线y＝－1mx＋zm过P点时z取得最大值．由y＝mx，x＋y＝1，得x＝1m＋1，y＝mm＋1.∴zmax＝1m＋1＋m2m＋12.∴1m1＋2.[答案]A已知目标函数的最值求参数，这是线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．练一练3．若实数x，y满足不等式组x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－a≥0，目标函数t＝x－2y的最大值为2，求实数a的值是多少？得x＝2，y＝a－22，代入x－2y＝2中，解得a＝2.解：如图，由x＝2，x＋2y－a＝0.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————1．本节课的重点是求线性目标函数的最值及已知目标函数的最值求参数问题．难点是非线性目标函数最值的求法及已知目标函数的最值求参数问题．2．本节课要重点掌握的规律方法：(1)用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：①在平面直角坐标系内作出可行域．②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．③确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．④求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值，见讲1和讲2.(2)逆用目标函数的最值求参数，见讲3.