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第1课时二元一次不等式(组)与平面区域[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P82～P86，回答下列问题：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？(1)假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，那么x和y应满足哪些不等关系？(2)问题(1)中得出的不等关系有什么特点？提示：(1)分析题意，我们可得到以下式子x＋y≤25000000，12x＋10y≥3000000，x≥0，y≥0.(2)是由含有两个未知量且次数为1的多个不等式构成的不等式组．2．归纳总结，核心必记(1)二元一次不等式(组)的概念①二元一次不等式含有未知数，并且未知数的次数是的不等式称为二元一次不等式．②二元一次不等式组由组成的不等式组称为二元一次不等式组．两个1几个二元一次不等式③二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对(x，y)有序数对(x，y)(2)二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C0表示直线某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成以表示区域不包括边界．Ax＋By＋C＝0虚线不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成．(3)二元一次不等式表示的平面区域的确定①直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都．②在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由的符号可以断定Ax＋By＋C0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．实线相同Ax0＋By0＋C[问题思考](1)不等式xy是二元一次不等式吗？提示：是，符合二元一次不等式的两个特征．(2)点(2,1)是否是不等式3x－2y＋10的解？提示：是．因为将点(2,1)代入上式的左边可得3×2－2×1＋1＝50，适合上述不等式．(3)在平面内画一条直线x－y＝6，这条直线将平面分为几个部分？提示：分成三部分，即直线左上方的点、直线上的点和直线右下方的点．(4)如图，设点P(x，y1)是直线上的点，选取点A(x，y2)满足不等式x－y6，你能完成下面的表格吗？横坐标x－3－2－10123点P的纵坐标y1点A的纵坐标y2提示：横坐标x－3－2－10123点P的纵坐标y1－9－8－7－6－5－4－3点A的纵坐标y2－9－8－7－6－5－4－3(5)当点A与点P有相同的横坐标时，他们的纵坐标有什么关系？直线l左上方点的坐标与不等式x－y6有什么关系？直线l右下方点的坐标呢？提示：当点A与点P有相同的横坐标时，A的纵坐标大于点P的纵坐标，即x－y26.在直角坐标系中，以二元一次不等式x－y6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足，不等式x－y6.因此，在直角坐标系中，不等式x－y6表示直线x－y＝6左上方的平面区域．类似地，不等式x－y6表示直线x－y＝6右下方的平面区域．(6)平面区域的边界有时为实线，有时为虚线，它们有什么区别？提示：边界为实线时表示包括边界，对应的不等式含有等号；边界为虚线时表示不包括边界，对应的不等式不含等号．[课前反思]1．二元一次不等式的定义是：；2．二元一次不等式组的定义是：；3．如何确定二元一次不等式所表示的平面区域？．[思考1]如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域？名师指津：直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得符号都相同，所以只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定Ax＋By＋C0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．[思考2]如何判断二元一次不等式组表示哪个平面区域？名师指津：二元一次不等式组表示的平面区域是指各个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分．讲一讲1．画出下列不等式(组)表示的平面区域．(链接教材P84－例1、例2)(1)2x－y－6≥0；(2)x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.[尝试解答](1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0，0)代入2x－y－6中，∵2×0－1×0－6＝－60，∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－60，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0，0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝50，∴原点在x－y＋50表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域．(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判定．练一练1．(1)将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来．解：①平面区域的边界线为虚线，方程为x＝－2和x＝2，所以平面区域满足的不等式是－2x2.②平面区域的边界线为虚线，方程为y＝－2x，即2x＋y＝0.因为点(1，0)在平面区域中且满足不等式2x＋y0，所以平面区域满足的不等式是2x＋y0.③平面区域的边界线为实线，方程为x2＋y－2＝1，即x－y－2＝0.因为原点(0，0)在平面区域中且满足不等式x－y－20，不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0上及右上方的区域．(2)画出不等式组x＋y≤5，x－2y3，x＋2y≥0表示的平面区域．解：不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0上及左下方的区域．不等式x－2y3表示直线x－2y－3＝0右下方的区域．所以不等式组表示的平面区域如图所示．讲一讲2．求由不等式组x＋y≤5，2x＋y≤6，x≥0，y≥0确定的平面区域的面积S阴影部分．[尝试解答]如图，作出不等式组所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O(0，0)，B(3，0)，A(0，5)，P(1，4)．过P点作y轴的垂线，垂足为C.则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，OC＝4，OB＝3，得S△ACP＝12AC·PC＝12，S梯形COBP＝12(CP＋OB)·OC＝8.所以S阴影部分＝S△ACP＋S梯形COBP＝172.求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解．练一练2．求不式组y≤2，|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．解：可将不等式组分解成如下两个不等式组：①x≥0，y≥x，y≤x＋1，y≤2，或②x≤0，y≥－x，y≤－x＋1，y≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，故所围成的面积S＝12×4×2－12×2×1＝3.讲一讲3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1t产品的资源需求如下表：品种电力/(kW·h)煤/t工人/人甲235乙852该厂有工人200人，每天只能保证160kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围．(链接教材P85－例3)[思路点拨]设出甲、乙产品的数量x，y.把x，y的限制条件列成不等式组，作出不等式组表示的平面区域．[尝试解答]设每天分别生产甲、乙两种产品xt和yt，生产xt甲产品和yt乙产品的用电量是(2x＋8y)(kW·h)，根据条件，有2x＋8y≤160；用煤量为(3x＋5y)t，根据条件，有3x＋5y≤150；用工人数为5x＋2y≤200；另外，还有x≥0，y≥0.综上所述，x，y应满足不等式组2x＋8y≤160，3x＋5y≤150，5x＋2y≤200，x≥0，y≥0.甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)：用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时，(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．(3)由实际问题中有关的限制条件，或由问题中所有量均有实际意义，写出所有的不等式．(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．练一练3．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2.用不等式将书桌与书橱的产量之间的关系表示出来．并画出相应的平面区域．解：设生产书桌x张，书橱y个，则x、y满足0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0且x∈N，y≥0且y∈N，即x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0且x∈N，y≥0且y∈N.在平面直角坐标系中，画出上述不等式组表示的平面区域，如图，阴影部分的整点：————————[课堂归纳·感悟提升]————————1．本节课的重点是二元一次不等式表示的平面区域的判定，难点是二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．2．本节课要掌握的规律方法(1)二元一次不等式(组)表示平面区域的确定方法，见讲1.(2)求二元一次不等式组所表示的平面区域面积的方法，见讲2.3．本节课的易错点为：画平面区域时，注意边界线的虚实问题，见讲1.