2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 第2节 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不

第2课时一元二次不等式的应用(习题课)[思考1]求解形如f（x）h（x）a的分式不等式，能否利用解分式方程的方法去分母？为什么？应该怎样解？名师指津：一般不能采取去分母的方法，因为不清楚分母h(x)是否大于0，如果能判断出h(x)大于0或者小于0，完全可以采取去分母的方法．一般解法是移项、通分化成标准型f（x）g（x）0(0)或f（x）g（x）≥0(≤0)，再等价成整式不等式来解．[思考2]形如f（x）g（x）0，f（x）g（x）0，f（x）g（x）≥0，f（x）g（x）≤0的分式不等式，等价变形成怎样的整式不等式？名师指津：分别等价变形为f(x)·g(x)0；f(x)·g(x)0；f（x）·g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）·g（x）≤0，g（x）≠0.讲一讲1．解下列不等式：(1)x＋21－x0；(2)x＋1x－2≤2.[尝试解答](1)由x＋21－x0，得x＋2x－10，此不等式等价于(x＋2)(x－1)0，∴原不等式的解集为{x|x－2或x1}．(2)法一：移项得x＋1x－2－2≤0，左边通分并化简有－x＋5x－2≤0，即x－5x－2≥0，它的同解不等式为（x－2）（x－5）≥0，x－2≠0，∴x2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．法二：原不等式可化为x－5x－2≥0，此不等式等价于x－5≥0，x－20①或x－5≤0，x－20，②解①得x≥5，解②得x2，∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．练一练1．解下列不等式：(1)x＋23－x≥0；(2)2x－13－4x1.解：(1)原不等式等价于（x＋2）（3－x）≥0，3－x≠0，即（x＋2）（x－3）≤0，x≠3⇒－2≤x3.∴原不等式的解集为{x|－2≤x3}．(2)原不等式可化为2x－13－4x－10，即3x－24x－30.等价于(3x－2)(4x－3)0，∴23x34.∴原不等式的解集为x23x34.[思考1]不等式ax2＋bx＋c0的解是全体实数的条件是什么？名师指津：当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0.Δ0.[思考2]不等式ax2＋bx＋c0的解是全体实数的条件是什么？名师指津：当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0，Δ0.讲一讲2．设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1，3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．[尝试解答](1)要使mx2－mx－10恒成立，若m＝0，显然－10.若m≠0，m0，Δ＝m2＋4m0⇒－4m0.∴－4m≤0，即m的取值范围是(－4，0]．(2)法一：要使f(x)－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，就要使mx－122＋34m－60在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．当m0时，g(x)是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－60，∴0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝m－60，得m6.∴m0.综上所述，m67，即m的取值范围是－∞，67.法二：当x∈[1，3]时，f(x)－m＋5恒成立，即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－60恒成立．∵x2－x＋1＝x－122＋340，又m(x2－x＋1)－60，∴m6x2－x＋1.∵函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴只需m67即可．∴m的取值范围是－∞，67.一元二次不等式恒成立的类型及解法设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)f(x)0在R上恒成立⇔a0，Δ0；(2)f(x)0在R上恒成立⇔a0，Δ0；(3)a0时，f(x)0在区间[α，β]上恒成立⇔f（α）0，f（β）0；(4)a0时，f(x)0在区间[α，β]上恒成立⇔f（α）0，f（β）0；(5)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)(kf(x))恒成立⇔k≥f(x)max(kf(x)max)；k≤f(x)(kf(x))恒成立⇔k≤f(x)min(kf(x)min)．练一练2．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4.(1)如果对一切x∈R，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得对任意x∈[－3，1]，f(x)0恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可知，只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ0，即4(a－2)2－160，解得0a4.(2)若对任意x∈[－3，1]，f(x)0恒成立，则满足题意的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a应该满足f（－3）0，f（1）0，－32－a1，即25－6a0，1＋2a0，1a5，解得a256，a－12，1a5，这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x∈[－3，1]，f(x)0恒成立．讲一讲3．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？(链接教材P79－例4)[尝试解答]设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.因此，当2≤k≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．解一元二次不等式应用题的四个步骤(1)认真审题，理解题意，把握题目中的关键量，找准不等关系．(2)引入数学符号．根据题意建立相应的不等关系(或函数关系)，把实际问题抽象成一元二次不等式问题．(3)解不等式(或求函数的最值)．(4)回扣实际问题．练一练3．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a·(100＋2x)·(10－x)(0x10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得150a(100＋2x)·(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2，又因为0x10，所以0x≤2.因此要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，x的取值范围应为(0，2]．————————[课堂归纳·感悟提升]————————1．本节课的重点是一元二次不等式的恒成立问题，难点是一元二次不等式的实际应用．2．本节课的易错点有：(1)解不等式f（x）g（x）≥0(或≤0)时，忽视g(x)≠0；(2)解不等式f（x）g（x）a(或a)时，不考虑g(x)的符号，直接去分母．3．本节课重点掌握的规律方法(1)分式不等式的解法，见讲1；(2)不等式的恒成立问题的解法，见讲2.4．有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解．5．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．