2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 4.1 二元一次不等式（组）与平面区域课件 北师大版

第三章不等式§4简单线性规划4．1二元一次不等式(组)与平面区域1．二元一次不等式表示平面区域一般地，直线l：Ax＋By＋C＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C＝0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．一般地，把直线l：Ax＋By＋C＝0画成实线，表示平面区域___________这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域这一边界直线．Ax0＋By0＋C包括不包括2．二元一次不等式(组)表示平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分．交集判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．()(2)点(1，2)在不等式2x＋y－1＞0表示的平面区域内．()(3)不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．()×√×下列不是二元一次不等式的是()A．－x－y＋20B．2x＋y－10C．y2≥2xD．x＋2y1－3x－y答案：C不在不等式3x＋2y6表示的平面区域内的一个点是()A．(0，0)B．(1，1)C．(0，2)D．(2，0)答案：D不等式组x≥2，x－y＋3≤0表示的平面区域是()答案：D点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则实数t的取值范围是________．解析：据题意得不等式2×(－2)－3t＋6＜0，解得t＞23，故t的取值范围是23，＋∞.答案：23，＋∞二元一次不等式表示平面区域的方法(1)y＝kx＋b表示的直线将平面分成两部分，即y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域，y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域，而直线y＝kx＋b是这两个区域的分界线．(2)对于Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示的平面区域可以这样来确定：不等式(A＞0)区域：在直线Ax＋By＋C＝0B＞0B＜0Ax＋By＋C＞0右上方右下方Ax＋By＋C＜0左下方左上方当x的系数小于0时，可通过不等式两边乘以－1的方法转化成上述情况．当A或B为0时，可通过不等式直接确定．对于区域的确定要灵活，如果给定点P(x0，y0)和直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)，判断点P在直线哪一侧时，设d＝B·(Ax0＋By0＋C)，则d＞0⇔P在直线上方，d＝0⇔P在直线上，d＜0⇔P在直线下方．二元一次不等式(组)表示的平面区域画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)3x－y0；(2)y≤－2x＋3；(3)x－y＋6≥0x＋y≥0x≤3.【解】(1)画出直线3x－y＝0(画虚线)，将点(1，0)代入3x－y得3×1－00，所以不等式3x－y0表示的平面区域与点(1，0)位于直线3x－y＝0的同侧，如图(1)所示．(2)将y≤－2x＋3变形得2x＋y－3≤0，先画出直线2x＋y－3＝0(画实线)．将点(0，0)代入2x＋y－3得－30，所以2x＋y－3≤0表示的区域与点(0，0)位于直线2x＋y－3＝0的同侧，如图(2)所示．(3)先画出直线x－y＋6＝0(画成实线)，不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0上及其右下方的点的集合．画出直线x＋y＝0(画成实线)，不等式x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合．画出直线x＝3(画成实线)，不等式x≤3表示直线x＝3上及其左侧的点的集合．所以不等式组x－y＋6≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图(3)所示的阴影部分．本例(3)中，平面区域的面积是多少？解：由x＋y＝0，x－y＋6＝0，得A(－3，3)，由x－y＋6＝0，x＝3，得C(3，9)，由x＋y＝0，x＝3，得B(3，－3)．所以S△ABC＝12|BC|·6＝12×12×6＝36.二元一次不等式表示的平面区域的作法(1)画边界直线．画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号)．(2)特殊点定域．确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧．简记为“直线定界，特殊点定域”．1.(1)不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为()A．4B．1C．5D．无穷大(2)如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分(包括边界)，则这个不等式组是________．解析：(1)不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(2，2)，(3，0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1.(2)0≤y≤2，x≤0，2x－y＋4≥0.答案：(1)B(2)0≤y≤2，x≤0，2x－y＋4≥0含参数的二元一次不等式(组)问题(1)若点P(1，2)，Q(1，1)在直线x－3y＋m＝0的同侧，则实数m的取值范围是________．(2)记不等式组x≥0x＋3y≥43x＋y≤4所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)因为点P(1，2)，Q(1，1)在直线x－3y＋m＝0的同侧，所以(1－3×2＋m)(1－3×1＋m)0，即(m－5)·(m－2)0，解得m5或m2.(2)不等式组所表示的平面区域D如图中的阴影部分所示(含边界)，且A(1，1)，B(0，4)，C0，43，直线y＝a(x＋1)恒过点P(－1，0)，且斜率为a，由斜率公式可知kAP＝12，kBP＝4.若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，数形结合可得12≤a≤4.答案：(1)(－∞，2)∪(5，＋∞)(2)12，42.(1)若点P(m，3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y3表示的平面区域内，则m＝________．(2)若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是________．解析：(1)由题知：|4m－8|5＝4，所以m＝－3或m＝7.又因为点P在不等式2x＋y3表示的平面区域内，故点P(m，3)适合不等式2x＋y3，所以m＝－3.(2)不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域可以是一个梯形(如图阴影部分所示)．它的两个顶点坐标是(0，5)，(2，7)．若此不等式组表示的平面区域为三角形，则数形结合可知，a的取值范围是[5，7)．答案：(1)－3(2)[5，7)用平面区域表示实际问题某人准备投资1200万元兴办一所中学，他对教育市场进行调查后，得到了下面的数据表格(以班级为单位)：学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226/班2/人高中40354/班2/人因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件．【解】设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30，考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200，即x＋2y≤40，另外，开设的班数不能为负，则x≥0，y≥0.把上面的四个不等式合在一起，得到20≤x＋y≤30，x＋2y≤40，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N用图形表示这个限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分中的整点部分)．用平面区域表示实际问题的方法(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式．(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.3.配制A、B两种药品，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需甲料3mg，乙料5mg；配一剂B种药品需甲料5mg，乙料4mg.今有甲料20mg，乙料25mg，若A、B两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同的配制方法？解：设A、B两种药品分别配x剂、y剂(x，y∈N＋)．由题意得，甲料乙料A药品/剂3mg5mgB药品/剂5mg4mg共计20mg25mg则有x≥1，y≥1，3x＋5y≤20，5x＋4y≤25.作出平面区域，如图阴影部分所示，因为x，y∈N＋，所以在区域内作出所有格点(整数点)．由图示可知，区域内的所有整点为(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共8个点．所以在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．规范解答求不等式组表示的平面区域的面积(本题满分12分)求不等式组x3，2y≥x，3x＋2y≥6，3yx＋9表示的平面区域的面积．【解】不等式x3表示直线x＝3左侧的区域(不含边界)；(1分)不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0左上方的区域(包含边界)；(2分)不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0右上方的区域(包含边界)；(3分)不等式3yx＋9，即x－3y＋90表示直线x－3y＋9＝0右下方的区域(不含边界)．(4分)综上可得，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．(6分)因为平面区域是个四边形，设其顶点分别为A、B、C、D.由图可知A(0，3)，B32，34，C3，32，D(3，4)．(9分)S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB＝12(OA＋DE)·OE－12OE·CE－12OA·xB＝12×(3＋4)×3－12×3×32－12×3×32＝6.(12分)(1)处各不等式表示的区域要判断准确．本步为易失分点．处正确求出各点的坐标是求面积的关键．(2)利用割补的方法将不规则的图形转化为易求面积的几何图形去求解，割补要合理，运算要准确．1．下面给出的四点坐标中，位于x＋y－10，x－y＋10表示的平面区域内的是()A．(0，2)B．(－2，0)C．(0，－2)D．(2，0)解析：选C.若一点为不等式组所表示的平面区域内的点，则该点必是不等式组的一个解，故可将选项中的各点代入不等式组进行验证即可，验证可知，选项C中的点满足题意．2．平面直角坐标系中，不等式组2x＋2y－1≥0，3x－3y＋4≥0，x≤2表示的平面区域的形状是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形3．(1)画出不等式组x＋y＞0，x≤2表示的平面区域；(2)画出不等式(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域．解：(1)不等式组x＋y＞0，x≤2表示的平面区域如图(1)中阴影部分所示．(2)不等式(x－y)(x－y－1)≤0等价于不等式组x－y≥0，x－y－1≤0或x－y≤0，x－y－1≥0.而不等式组x－y≤0，x－y－1≥0无解，故(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域如图(2)(阴影部分)．