2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式课件 新人教A版必修5

3.4基本不等式：ab≤a＋b2目标定位重点难点1.了解基本不等式的代数和几何背景．2．会用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题．3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．4．能够运用基本不等式解决简单的实际应用问题.重点：会用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题．难点：用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1．基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b2______2ab，当且仅当______时，等号成立．(2)基本不等式：如果a＞0，b＞0，那么ab______a＋b2，当且仅当______时，等号成立．≥a＝b≤a＝b2．应用基本不等式求最值已知x，y都为正数，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当______时，积xy取得最大值________．(2)若xy＝p(积为定值)，则当______时，和x＋y取得最小值________．x＝ys24x＝y2p1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A．25B．12C．22D．1【答案】B【解析】令t＝x(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝xx＋1＝tt2＋1.当t＝0时，f(x)＝0；当t＞0时，f(x)＝1t2＋1t＝1t＋1t.∵t＋1t≥2，∴0＜1t＋1t≤12.∴f(x)的最大值为12.2．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3【答案】C【解析】∵a＋b＝2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝4.又∵a≥0，b≥0，∴a2＋b2＋a2＋b2≥a2＋b2＋2ab＝4，即a2＋b2≥2.故选C．3．若实数x，y满足1x2＋1y2＝1，则x2＋2y2有()A．最大值3＋22B．最小值3＋22C．最大值6D．最小值6【答案】B【解析】由题意可得x2＋2y2＝(x2＋2y2)·1x2＋1y2＝1＋2＋x2y2＋2y2x2≥3＋22，当且仅当x2y2＝2y2x2时，即x＝±42y时，等号成立，故x2＋2y2有最小值为3＋22.故选B．4．若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．【答案】9【解析】x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y＝(x＋4y)1x＋1y＝1＋4＋xy＋4yx≥5＋2xy·4yx＝9，当且仅当x＝2y＝13时，等号成立，则1x＋1y的最小值为9.利用基本不等式求函数的最值【例1】(1)已知xy＝3且x＞0，y＞0，求2x＋5y的最小值；(2)若2x＋y＝3且x，y都是正数，求12x＋1y的最小值．【解析】(1)∵x＞0，y＞0，xy＝3，∴2x＋5y≥22x·5y＝230，当2x＝5y，即x＝302，y＝305时，等号成立，即x＝302，y＝305时，(2x＋5y)min＝230.(2)12x＋1y＝2x＋y2xy＝32xy.∵2x＋y＝3≥22xy，∴2xy≤94.∴12x＋1y≥394＝43，当且仅当2x＝y＝32，即x＝34，y＝32时，等号成立．∴当x＝34，y＝32时，12x＋1ymin＝43.【规律总结】本题充分考查了基本不等式这一基础知识的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值．已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则1x＋13y的最小值是________．【答案】4【解析】lg2x＋lg8y＝lg2x＋lg23y＝(x＋3y)lg2，又由lg2x＋lg8y＝lg2，则x＋3y＝1，由基本不等式的性质可得，1x＋13y＝(x＋3y)1x＋13y＝2＋3yx＋x3y≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y时取等号，故答案为4.基本不等式的灵活运用【例2】(1)函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，求1m＋1n的最小值；(2)已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．【解析】(1)∵y＝a1－x恒过定点A(1,1)，又A在直线mx＋ny－1＝0上，∴m＋n＝1.而1m＋1n＝m＋nm＋m＋nn＝1＋nm＋mn＋1≥2＋2＝4.当且仅当m＝n＝12时，取“＝”．∴1m＋1n的最小值为4.(2)∵x＜54，∴4x－5＜0.∴5－4x＞0.∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝－5－4x＋15－4x＋3.∵5－4x＋15－4x≥25－4x·15－4x＝2，∴y≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时等号成立．故当x＝1时，y取最大值1.【方法规律】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：一是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．二是条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．已知不等式x＋2x＋1＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则2m＋1n的最小值为________．【答案】9【解析】不等式x＋2x＋1＜0的解集为{x|a＜x＜b}，∴a＝－2，b＝－1.∵点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.∴2m＋1n＝2m＋1n(2m＋n)＝5＋2nm＋2mn≥5＋24＝9，当且仅当m＝n＝13时取等号，即2m＋1n的最小值为9.故答案为9.【例3】为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．利用基本不等式解决实际问题【解题探究】设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab＝40000m2，则所选农田的长为(a＋6)m，宽为(b＋6)m，农田面积为(a＋6)·(b＋6)＝40036＋6(a＋b)(m2)，由此利用基本不等式能求出农田的最小面积．【解析】设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab＝40000m2，则所选农田的长为(a＋6)m，宽为(b＋6)m，农田面积为(a＋6)·(b＋6)＝40036＋6(a＋b)(m2)．由基本不等式a＋b≥2ab，知当且仅当a＝b时，a＋b最小，即农田面积最小，∵ab＝40000，∴a＝b＝200m.∴农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小．【规律方法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．(2019年江西南昌期末)某商场在中秋节前开始销售月饼，t(0＜t≤30)天内月饼销售总量f(t)与时间t的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均销售量(如前10天的平均销售量为f1010)的最小值为()A．16B．18C．25D．27【答案】B【解析】由题意得平均销售量y＝ftt＝t＋10＋16t≥10＋2t·16t＝18，当且仅当t＝16t，即t＝4∈(0,30]时等号成立，所以平均销售量的最小值为18.故选B．基本不等式的三个条件不能忽视【示例】已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A．72B．4C．92D．5【错因分析】解答本题易两次利用基本不等式，但它们成立的条件不同，一个是a＝b，另一个是b＝4a，这显然是不能同时成立的，故不正确．【错解】∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴ab≤a＋b24＝1.又y＝1a＋4b≥24ab＝41ab，∴y≥411＝4.故选B．【正解】∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92.故y＝1a＋4b的最小值为92，当且仅当a＝23，b＝43时等号成立．故选C．【警示】1.使用基本不等式求最值，容易对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足“正”“定”“等”的条件．【答案】D【解析】a＝b时，A不成立；a，b＜0时，B，C都不成立，故选D．1．设a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2abC．1a＋1b＞2abD．ba＋ab≥22．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【答案】D【解析】∵1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2x＋y≤12，∴2x＋y≤14，得x＋y≤－2.3．(2019年江苏苏州模拟)要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的左右两侧各留出宽为2米的小路，在鱼池的前后两侧各留出宽为1米的小路，则鱼池与路的占地总面积的最小值是________平方米．【答案】968【解析】设鱼池的两边长分别为x，800x，占地总面积是(x＋4)·800x＋2＝808＋2x＋1600x≥808＋2×2x·1600x＝968.当且仅当x＝1600x，即x＝40时，等号成立．所以鱼池与路的占地总面积的最小值为968平方米．4．已知2x＋3y＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是_____．【答案】6【解析】2x＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy≥6.