2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第一课时 基本不等式课件 新人教

第一课时基本不等式3.4基本不等式:ab≤2ab[目标导航]课标要求1.掌握基本不等式,明确基本不等式成立的条件.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式证明一些简单的不等式.4.能用基本不等式比较代数式的大小.素养达成通过对基本不等式的学习,培养学生数学抽象、逻辑推理及数学运算能力.新知导学课堂探究两个不等式新知导学·素养养成“a=b”时取“=”不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)“a=b”时取“=”基本不等式ab≤2ab(a0,b0)思考1:对任意的a,b∈R,不等式2ab≥ab成立吗?答案:不一定,当a,b均为负数时,2ab0,ab0,显然不等式不成立;当a与b一正一负时,ab无意义;当a,b均为非负数时,不等式成立.思考2:基本不等式中的a,b可以是代数式吗?答案:可以,但代数式的值必须是正数,否则不成立.名师点津对基本不等式的理解(1)数列理解ab为a,b的正的等比中项,2ab为a,b的等差中项,则该定理可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项.(2)代数理解ab为a,b的几何平均数,2ab为a,b的算术平均数,则该定理可以叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.课堂探究·素养提升题型一对基本不等式的理解[例1]给出下列命题:(1)若x∈R,则x+1x≥2;(2)若a0,b0,则lga+lgb≥2lglgab;(3)若a0,b0,则ab+1ab≥2;(4)不等式yx+xy≥2成立的条件是x0且y0.其中正确命题的序号是.解析:只有当x0时,才能由基本不等式得到x+1x≥21xx=2,故(1)错;当a0,b0时,lga∈R,lgb∈R,不一定有lga0,lgb0,故lga+lgb≥2lglgab不一定成立,(2)错;当a0,b0时,ab0,由基本不等式可得ab+1ab≥21abab=2,故(3)正确;由基本不等式可知,当yx0,xy0时,有yx+xy≥2yxxy=2成立,这时只需x与y同号即可,故(4)错误.答案:(3)方法技巧应用基本不等式时,首先根据题目的特征,确定“a”和“b”.它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必须都是正数,最后看“=”能否成立.①若x0,则cosx+1cosx≥21coscosxx=2;②若x0,则x+4x=-[(-x)+(-4x)]≤-24()()xx=-4;③x2+3+212x=x2+2+212x+1≥2221(2)2xx+1=3.即时训练1-1:下列不等式的推导过程正确的是.解析:在①中,由x0不能保证cosx0,故不能应用基本不等式;②由于x0,所以-x0,故可以利用基本不等式结合不等式的性质推导,推导过程是正确的;③虽然可以利用基本不等式推导,但等号成立的条件是x2+2=212x,即x2+2=1,这显然不可能,从而等号取不到,因此只能得到x2+3+212x3.答案:②题型二利用基本不等式比较大小[例2](2019·浙江台州检测)若ab1,P=lglgab,Q=12(lga+lgb),R=lg2ab,则P,Q,R的大小关系是.解析:因为ab1,所以lgalgb0,所以Q=12(lga+lgb)lglgab=P;Q=12(lga+lgb)=lga+lgb=lgablg2ab=R.所以PQR.答案:PQR方法技巧利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质(单调性).(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a0,b0.即时训练2-1:(2019·山东临沂高二检测)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有()(A)1≤ab≤222ab(B)ab1222ab(C)ab222ab1(D)222abab1解析:因为a≠b,所以a2+b22ab,所以2(a2+b2)(a+b)2=4,所以222ab1.又由a2+b22ab,得(a+b)24ab,所以ab1,所以ab1222ab.故选B.[备用例题]若0a1,0b1,且a≠b,试找出a+b,a2+b2,2ab,2ab中最大者.解:因为0a1,0b1,a≠b,所以a+b2ab,a2+b22ab;所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又因为0a1,0b1,所以a(a-1)0,b(b-1)0,所以a2+b2-(a+b)0,即a2+b2a+b,所以a+b最大.题型三利用基本不等式证明不等式规范解答:因为a,b,c,2ab,2bc,2ca均大于0,………………………………………2分所以2ab+b≥22abb=2a,…………………………………………………………4分当且仅当2ab=b时等号成立.………………………………………………………6分2bc+c≥22bcc=2b,当且仅当2bc=c时等号成立.………………………………8分2ca+a≥22caa=2c,当且仅当2ca=a时等号成立.…………………………………10分相加得2ab+b+2bc+c+2ca+a≥2a+2b+2c.所以2ab+2bc+2caa+b+c.………………12分[例3]已知a,b,c0,求证:2ab+2bc+2ca≥a+b+c.方法技巧利用基本不等式证明不等式的条件要求:(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.即时训练3-1:(2019·绍兴高二检测)已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+cab+bc+ca.证明:因为a0,b0,c0,所以a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac.所以2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca),即a+b+c≥ab+bc+ca.由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立.所以a+b+cab+bc+ca.错解:因为x+1x≥21xx=2,所以函数值域为[2,+∞).题型四易错辨析——忽视基本不等式成立的条件致误[例4]求函数y=x+1x的值域.纠错:解答中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应都大于零,因而导致错误.正解:当x0时,x+1x≥21xx=2,当且仅当x=1x,即x=1时,“=”成立,所以y≥2.当x0时,x+1x=-(-x+1x)≤-21xx=-2,当且仅当-x=1x,即x=-1时,“=”成立.所以y≤-2.故原函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).学霸经验分享区(2)应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形,构造出符合基本不等式的条件结构.(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件,只有当a0,b0时,才会有ab≤2ab.对于“当且仅当……时,‘=’成立……”这句话要从两个方面理解:一方面,当a=b时2ab=ab;另一方面:当2ab=ab时,也有a=b.课堂达标1.设ab0,则下列不等式中一定成立的是()C(A)a-b0(B)0ab1(C)ab2ab(D)aba+b解析:因为ab0,由基本不等式知ab2ab一定成立,故选C.2.设0ab,则下列不等式中正确的是()B(A)abab2ab(B)aab2abb(C)aabb2ab(D)aba2abb解析:由a=aa,b=bb,0ab及基本不等式得aaab2ab,故选B.3.(2019·安徽安庆检测)已知a,b∈R,且ab0,则下列结论恒成立的是()(A)a2+b22ab(B)a+b≥2ab(C)1a+1b2ab(D)ba+ab≥2D解析:对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;对于B,C,虽然ab0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D,因为ab0,所以ba0,ab0,所以ba+ab≥2baab,即ba+ab≥2成立,D正确.选D.4.已知a,b是不相等的正数,x=2ab,y=ab,比较x,y的大小为.(用“”连接)解析:因为a,b是不相等的正数,所以x2=22abab2abab=a+b=y2,又x0,y0,所以xy.答案:yx5.设a,b,c都是正数,试证明不等式:bca+cab+abc≥6.证明:因为a0,b0,c0,所以ba+ab≥2,ca+ac≥2,cb+bc≥2,所以(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)≥6,当且仅当ba=ab,ca=ac,cb=bc,即a=b=c时,等号成立.所以bca+cab+abc≥6.