2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用课件

第三章不等式3．4基本不等式：第2课时基本不等式的应用ab≤a＋b2课前自主预习1.利用基本不等式求函数的最值(1)如果x，y0，xy＝P(定值)，当时，x＋y有最值.(简记：积定和有最小值)(2)如果x，y0，x＋y＝S(定值)，当时，xy有最值.(简记：和定积有最大值)□01x＝y□02小□032P□04x＝y□05大□0614S2(3)利用基本不等式求最值，必须满足三条：．即①x，y都是正数(x，y为非正数，则结论不成立)；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等．利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最值是最常见的方法之一，而求最值时又极易忽略上述条件，这一点希望注意．□07一正、二定、三相等2．求实际问题中的最值的解题步骤(1)先读懂题意，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．()(2)若a0，b0且a＋b＝16，则ab≤64.()(3)当x1时，函数f(x)＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数f(x)的最小值是2xx－1.()(4)y＝x＋1x的值域为[2，＋∞)．()√×√×2．做一做(1)已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________．(2)(教材改编P100T1)已知函数f(x)＝x＋ax－2(x2)的图象过点A(11,12)，则函数f(x)的最小值是________．(3)函数f(x)＝11－x1－x(x0)的最大值是________．(4)若a0，b0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．20084342课堂互动探究探究1利用基本不等式求函数最值例1(1)已知x0，y0且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)求函数y＝1x－3＋x(x3)的最小值；(3)已知0x13，求y＝x(1－3x)的最大值；(4)已知x＞－1，求y＝x2＋3x＋4x＋1的最小值．解(1)∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥2yx·9xy＋10＝6＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(2)∵y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3，又∵x3，∴x－30，1x－30，∴y≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时，y有最小值5.(3)∵0x13，∴1－3x0，y＝x(1－3x)＝13·3x·(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112.当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，取等号，∴当x＝16时，函数取得最大值112.(4)∵x－1，∴x＋1＞0，y＝x2＋3x＋4x＋1＝x＋12＋x＋1＋2x＋1＝x＋1＋2x＋1＋1≥22＋1，当且仅当x＋1＝2x＋1，即x＝2－1时，函数y的最小值为22＋1.[变式探究]本例(2)中把“x3”改为“x3”，则函数y＝1x－3＋x的最值又如何？解∵x3，∴x－30，∴y＝1x－3＋x＝－13－x－(3－x)＋3＝－13－x＋3－x＋3≤－213－x·3－x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当13－x＝3－x，即x＝2时，取等号．故函数y＝1x－3＋x(x3)有最大值1，没有最小值．拓展提升用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值的条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形、分离常数”等方法达到应用基本不等式的条件．【跟踪训练1】(1)已知x54，则函数f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________；(2)已知正数x，y满足x＋2y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(3)已知x0，y0，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________；(4)若x1，则函数y＝x2x－1的最小值为________．13＋2234解析(1)∵x54，∴5－4x0.∴f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－25－4x×15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．故当x＝1时，f(x)max＝1.(2)∵x，y为正数，且x＋2y＝1，∴1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋22.(3)∵x3＋y4＝1，∴1＝x3＋y4≥2xy12＝33xy.∴xy≤3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时等号成立．∴xy≤3，即xy的最大值为3.(4)y＝x2x－1＝x2－1＋1x－1＝x＋1＋1x－1＝x－1＋1x－1＋2，∵x1，∴x－10，∴x－1＋1x－1＋2≥2x－1·1x－1＋2＝4，当且仅当1x－1＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立，∵x1，∴当x＝2时，ymin＝4.探究2利用基本不等式求条件最值问题例2(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________；(2)实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．18233解析(1)解法一：设xy＝t(t＞0)，由xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，即t2≥22t＋6，(t－32)(t＋2)≥0，∴t≥32，则xy≥18.当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.解法二：∵2x＋y＋6＝xy，∴y＝2x＋6x－1，x＞1，xy＝x2x＋6x－1＝2x2＋3xx－1＝2[x2－1＋3x－1＋4]x－1＝2x＋1＋4x－1＋3＝2x－1＋4x－1＋5≥2×2x－1·4x－1＋5＝18.当且仅当x＝3时，等号成立．(2)1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－x＋y22，所以(x＋y)2≤43，即x＋y≤233，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝33时，等号成立．拓展提升利用基本不等式求条件最值的方法【跟踪训练2】若实数x，y满足x2＋y2＝4，则S＝2xyx＋y－2的最小值是()A．－2B．－2C．2－22D．2(1＋2)解析x2＋y2＝4⇒(x＋y)2－2xy＝4⇒2xy＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2)，于是S＝2xyx＋y－2＝x＋y＋2x＋y－2x＋y－2＝x＋y＋2，而x2＋y2＝4⇒(x＋y)2－4＝2xy≤2·x＋y22⇒－22≤x＋y≤22⇒S∈[2－22，2＋22]，当且仅当x2＋y2＝4，x＝y，即x＝y＝±2时等号成立．验证知x＝y＝－2时，S取得最小值，最小值为2－22.故选C．探究3基本不等式的实际应用例3某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－180x＋10，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝x5(注：利润与投资金额单位：万元)．(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100－x)万元资金投入B产品，利润总和f(x)＝18－180x＋10＋100－x5＝38－x5－180x＋10(x∈[0,100])．(2)∵f(x)＝40－x＋105－180x＋10，x∈[0,100]，∴由基本不等式，得f(x)≤40－236＝28，当且仅当x＋105＝180x＋10，即x＝20时，等号成立．答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．拓展提升利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件；(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号的情况，此时要利用函数的单调性．【跟踪训练3】某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解(1)设该船捕捞n年后的总盈利为y万元，则y＝50n－98－12×n＋nn－12×4＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，所以当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为yn＝－2n＋49n－20≤－22n·49n－20＝12，当且仅当n＝49n，即n＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．[规律小结]1.正确理解基本不等式模型(1)基本不等式模型为我们提供了利用基本不等式解决简单的最值问题的思考方向，若x＋y＝s(x，y0，s是常数)，则xy≤x＋y2，由此得到xy≤x＋y22＝s24，当且仅当x＝y时取“＝”，即积xy取得最大值s24.同理，当xy＝p(x，y0，p是常数)时，x＋y≥2xy＝2p，当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.从而，当和为定值时，可以求得积的最大值，当积为定值时，可以求得和的最小值．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．2.利用基本不等式应注意的问题(1)代数式中，各项必须都是正数．例如函数式x＋1x，当x0时，不能错误地认为x＋1x≥2成立，并由此得出x＋1x的最小值是2.事实上，当x0时，x＋1x的最大值是－2.(2)代数式中，含变量的各项的和或积必须是常数．(3)只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值．(4)多次使用基本不等式时，由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，则不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解的问题．(5)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋px(p0)的单调性求得函数的最值．[走出误区]易错点⊳忽视不等式中等号成立的条件而致误[典例]若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5D．6[错解档案]选A．∵x＋3y＝5xy≥23xy，∴xy≥1225，又3x＋4y≥212xy≥212×1225＝245，故选A项．[误区警示]两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性出错，错解中第一个等号成立的条件“x＝3y”，而第二个等号成立的条件为“3x＝4y”，显然等号不能同时成立．[规范解答]C∵x＋3y＝5xy，∴1y＋3x＝5，∴3x＋4y＝151y＋3x(3x＋4y)＝153xy＋12yx＋13