2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第1课时 基本不等式课后课时精练

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x2)中等号成立的条件是()A．x＝3B．x＝－3C．x＝5D．x＝－5解析由基本不等式知等号成立的条件为9x－2＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．2．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2≥8B．ab≥4C．a2＋b2≤8D．ab≤2解析∵a＞0，b＞0，且a＋b＝4，∴ab≤a＋b22＝4，故B，D错误，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥16－8＝8，故A正确，B，C，D错误．故选A．3．下列不等式一定成立的是()A．x2＋14x(x0)B．x2＋1≥2|x|(x∈R)C．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)D．1x2＋11(x∈R)解析令x＝12，x＝0排除A，D；sinx∈(－1,0)∪(0,1)不满足基本不等式的条件，排除C．故选B．4．设函数f(x)＝|lgx|，若存在实数0ab，满足f(a)＝f(b)，则M＝log2a2＋b28，N＝log21a＋b2，Q＝ln1e2的关系为()A．MNQB．MQNC．NQMD．NMQ解析∵f(a)＝f(b)，∴|lga|＝|lgb|，∴lga＋lgb＝0，即ab＝1，1a＋b2＝1a＋b＋2＝1a＋1a＋212＋2＝14，∴N＝log21a＋b2－2.又a2＋b28ab4＝14，∴a2＋b28141a＋b2，∴M＝log2a2＋b28－2.又∵Q＝ln1e2＝－2，∴MQN.故选B．二、填空题5．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．9解析∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3.令ab＝t，则t2≥2t＋3.解得t≥3(t≤－1舍)．即ab≥3.∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．6．设a0，b0，给出下列不等式：①a2＋1a；②a＋1ab＋1b≥4；③(a＋b)1a＋1b≥4；④a2＋96A．其中恒成立的是________(填序号)．①②③解析因为a0，又a2＋1≥2a2＝2aa，故①恒成立；由于a＋1a≥2，b＋1b≥2.则a＋1ab＋1b≥4，故②恒成立；由于a＋b≥2ab，1a＋1b≥21ab，故(a＋b)1a＋1b≥4，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则2a＋1b的最小值为________．83解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3，∴2a＋1b＝2a＋1b(a＋2b)×13＝4＋4ba＋ab3≥43＋234ba·ab＝83，当且仅当4ba＝ab，即a＝32，b＝34时取等号，∴2a＋1b的最小值为83.故答案为83.三、解答题8．已知a2，求证：loga(a－1)·loga(a＋1)1.证明∵a2，∴loga(a－1)0，loga(a＋1)0.又loga(a－1)≠loga(a＋1)，∴logaa－1·logaa＋1logaa－1＋logaa＋12＝12loga(a2－1)12logaa2＝1.∴loga(a－1)·loga(a＋1)1.9．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.证明由基本不等式，可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理：b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，所以(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2.从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.10．设x，y满足约束条件8x－y－4≤0，x＋y＋1≥0，y－4x≤0，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为2，(1)求a＋4b的值；(2)求1a＋1b的最小值．解(1)不等式组8x－y－4≤0，x＋y＋1≥0，y－4x≤0表示的平面区域为如图所示的阴影部分，当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线8x－y－4＝0与y＝4x的交点B(1,4)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值2，即a＋4b＝2.(2)由题意，1a＋1b＝12(a＋4b)1a＋1b＝125＋4ba＋ab≥52＋12×24ba·ab＝52＋2＝92；当且仅当a＝2b＝23时等号成立，所以1a＋1b的最小值是92.B级：能力提升练1．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A．2∈M,0∈MB．2∉M,0∉MC．2∈M,0∉MD．2∉M,0∈M解析∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤k4＋41＋k2.∵k4＋41＋k2＝1＋k22－21＋k2＋51＋k2＝1＋k2＋51＋k2－2≥21＋k2·51＋k2－2≥25－2.∴x≤25－2，M＝{x|x≤25－2}，∴2∈M,0∈M.2．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c1a＋1b＋1c.证明∵1a＋1b≥21ab＝2c，1b＋1c≥21bc＝2a，1c＋1a≥21ac＝2b，∴21a＋1b＋1c≥2(a＋b＋c)，即1a＋1b＋1c≥a＋b＋c.∵a，b，c为不等正实数，∴a＋b＋c1a＋1b＋1c.