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3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题目标定位重点难点1.了解线性规划的意义．2．通过实例弄清线性规划的有关概念术语．3．会用图解法求一些简单的线性规划问题．4．从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题，并能加以解决.重点：弄清线性规划的有关概念术语；求一些简单的线性规划问题．难点：线性规划的实际应用.1．线性规划的概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的二元一次解析式名称意义可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题2.简单线性规划问题的解法简单线性规划问题的图解法就是利用数形结合的思想根据线性目标函数的几何意义，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，一般步骤如下：(1)作图：画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域；(2)找初始直线：列目标函数，找初始直线l0；(3)平移：将直线l0平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值：解有关的方程组，求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的值．1．若x≥0，y≥0且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为()A．－1B．1C．2D．－2【答案】B【解析】可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大，∴zmax＝1.2．(2019年福建泉州模拟)已知实数x，y满足约束条件x＋|y|≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．－2B．－1C．1D．2【答案】D【解析】作可行域如图，z＝x＋2y，显然在B(0,1)处z取得最大值，zmax＝2.故选D．3．(2019年安徽安庆期末)如果点P(x，y)在平面区域2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0，x＋y－2≤0上，则x2＋(y＋1)2的最大值和最小值分别是()A．3，35B．9，95C．9,2D．3，2【答案】B【解析】如图，先作出点P(x，y)所在的平面区域．x2＋(y＋1)2表示动点P到定点Q(0，－1)距离的平方．当点P在(－1,0)时，|PQ|2＝2，而点Q到直线x－2y＋1＝0的距离的平方为95＜2；当点P在(0,2)时，离Q最远，|PQ|2＝9.因此x2＋(y＋1)2的最大值为9，最小值为95.4．已知x，y满足x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，则z＝yx＋2的取值范围是________．【答案】0，13【解析】由约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，作出可行域如图，联立x－y＝0，x＋y＝2，解得A(1,1)，z＝yx＋2的几何意义为可行域内的动点与定点P(－2,0)连线的斜率，∵kPA＝1－01－－2＝13，kPB＝0，∴0≤z≤13，即z的取值范围为0，13.求线性目标函数的最值问题【例1】(2015年安徽马鞍山一模)设变量x，y满足约束条件y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，则z＝x－3y的最小值为()A．－2B．－4C．－6D．－8【解题探究】我们先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的各交点，然后将交点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z＝x－3y的最小值．【答案】D【解析】根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点(－2,2)取最小值－8.故选D．【方法规律】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各交点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．设变量x，y满足约束条件2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A．23B．1C．32D．3【答案】D【解析】画出不等式组表示的平面区域如上图所示，易得直线y＝－x＋z过点A(0,3)时，z＝x＋y取最大值为3.故选D．求非线性目标函数的最值问题【例2】已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝yx的最大值和最小值；(2)z＝x2＋y2的最大值．【解题探究】点(x，y)在可行域内，yx表示可行域内的点与原点连线的斜率，而x2＋y2则表示到原点的距离的平方，也就是利用几何意义解答．【解析】作出可行域，如图所示．A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．(1)z＝yx表示可行域内的点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，∵kOA＝3，kOB＝13，∴z＝yx的最大值为3，最小值为13.(2)z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点(0,0)的距离的平方，因此最大值为z＝|OC|2＝72＋92＝130.【方法规律】非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合解题，能起到事半功倍的效果．已知变量x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝3x＋yx＋1的取值范围是()A．52，145B．－12，－15C．－12，52D．－52，145【答案】A【解析】∵u＝3x＋yx＋1＝3＋y－3x＋1，∴u＝3＋k，而k＝y－3x＋1表示点P，Q连线的斜率，其中P(x，y)，Q(－1，3)．作出不等式组x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域，其中A(1,2)，B(4,2)，C(3,1)，设P(x，y)为区域内的动点，移动点P，可得当P在AC上时，kPQ＝－12达到最小值；当P与B点重合时，kPQ＝－15达到最大值．∴u＝3＋k的最大值为－15＋3＝145；最小值为－12＋3＝52.因此，u＝3x＋yx＋1的取值范围是52，145.故选A．已知目标函数的最值求待定系数【例3】已知a＞0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A．12B．13C．1D．2【解题探究】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点C时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小，即2x＋y＝1.由x＝1，2x＋y＝1，解得x＝1，y＝－1，即C(1，－1)．∵点C也在直线y＝a(x－3)上，∴－1＝－2a，解得a＝12.故选A．【方法规律】这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，若目标函数z＝ax＋3y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围为________．【答案】(－6,3)【解析】作出可行域如图所示，由z＝ax＋3y可得y＝－a3x＋z3.当a＝0时，显然符合题意；当a＞0时，要使z仅在点(1,0)处取得最小值，需满足－a3＞－1，解得0＜a＜3；当a＜0时，要使z仅在点(1,0)处取得最小值，需满足－a3＜2，解得－6＜a＜0.综上所述，得－6＜a＜3.【例4】某工厂要制造A种电子装置45台、B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳．已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可做3个A外壳和5个B外壳，乙种薄钢板每张面积3m2，可做6个A外壳和6个B外壳．甲、乙两种薄钢板应各用多少张才能使用料总面积最小，最小面积是多少？线性规划的实际应用问题【解析】(1)设工厂用x张甲种薄钢板，y张乙种薄钢板，则x，y满足的数学关系式为3x＋6y≥45，5x＋6y≥55，x，y∈N.作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图所示．设用料总面积为zm2，则目标函数为z＝2x＋3y.由z＝2x＋3y，得y＝－23x＋z3，∴由图可知，当直线y＝－23x＋z3过点A时，直线的纵截距最小，z最小．解方程组3x＋6y＝45，5x＋6y＝55，得A(5,5)．∴zmin＝2×5＋3×5＝25.∴甲，乙两种薄钢板各用5张才能使用料总面积最小，最小面积是25m2.【方法规律】1.建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤：(1)明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示；(2)明确问题中所有的限制条件(约束条件)，并用线性方程或线性不等式表示；(3)明确问题的目标，并用线性函数(目标函数)表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．2．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．但考虑到作图必然会有误差，假如图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．某酒厂生产A，B两种优质白酒，生产每吨白酒所需的主要原料如下表.已知每吨A白酒的利润是7万元，每吨B白酒的利润是12万元，由于条件限制，该酒厂目前库存高粱360吨，大米300吨，小麦200吨．应生产A，B两种白酒各多少吨，才能获得最大利润？并求出最大利润．白酒品种高粱/吨大米/吨小麦/吨A934B4105【解析】(1)设生产A，B两种白酒分别为x吨、y吨，总利润为z万元，由题意得9x＋4y≤360，3x＋10y≤300，4x＋5y≤200，x，y∈N，目标函数为z＝7x＋12y.作出不等式组所表示的可行域如图所示．把z＝7x＋12y变形为y＝－712x＋z12，当直线z＝7x＋12y经过可行域上点A时，纵截距最大，z最大．解方程组3x＋10y＝300，4x＋5y＝200，得A点的坐标A(20,24)．所以zmax＝7x＋12y＝7×20＋12×24＝428.所以生产A白酒20吨、B白酒24吨，可获得最大利润为428万元．求最值时忽略题目要求为整数而出错【示例】某公司招聘男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，则z＝10x＋10y的最大值是________．【错解】画出可行域，如图所示．作直线x＋y＝0，当直线x＋y＝0向上平移，过点A(5.5,4.5)时，z取得最大值．最大值为z＝10×5.5＋10×4.5＝100.【错因分析】因为所求x和y的值，应为整数，而上述解法中x＝5.5，y＝4.5均不是整数，所以解法不正确．【正解】在可行域中在点A(5.5,4.5)附近找整数点，不妨取(5,5)，该点不在可行域内(不满足5x－11y≥－22)．取点(5,4)知在可行域内，因此，当x＝5，y＝4时，z取得最大值90.1．线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.2．目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．3．常见代数式的几何意义主要有：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．1．设x，y满足约束条件2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则目标函数z＝x＋y()A．有最小值2，无最大值B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，最大值3D．既无最小值，也无