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3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域[目标导航]课标要求1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面区域.3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面区域表示二元一次不等式组的解.素养达成通过对二元一次不等式(组)与平面区域的学习,培养学生识图、画图的观察能力和数形结合的思想.新知导学课堂探究1.二元一次不等式(组)的概念新知导学·素养养成有序数对(x,y)(1)二元一次不等式:我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.(2)二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.(3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成,所有这样的构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序数对(x,y)思考1:不等式2x-3y0是二元一次不等式吗?答案:是,符合二元一次不等式的两个特征.2.二元一次不等式表示的平面区域Ax+By+C=0二元一次不等式Ax+By+C0表示直线某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成,以表示区域边界二元一次不等式Ax+By+C≥0表示直线某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成,以表示区域边界虚线不包括Ax+By+C=0实线包括Ax0+By0+C平面区域的确定依据直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它们的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得符号都相同方法在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由的符号可以断定Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域思考2:平面区域的边界实线与虚线有何区别?答案:边界为实线时表示包括边界,对应的不等式含有等号;边界为虚线时表示不包括边界,对应的不等式不含等号.思考3:在平面直角坐标系中,平面内所有点与直线Ax+By+C=0有几种位置关系?答案:有三种:(1)在直线Ax+By+C=0上.(2)在直线Ax+By+C=0的上方的区域内.(3)在直线Ax+By+C=0的下方的区域内.名师点津Ax+By+C0(A≥0)表示的平面区域,此处不妨设C0A=0,B0A=0,B0A0,B=0A0,B0A0,B0课堂探究·素养提升解:(1)如图,先画出直线2x-y-6=0,取原点O(0,0)代入2x-y-6中,因为2×0-1×0-6=-60,所以与点O在直线2x-y-6=0同一侧的所有点(x,y)都满足2x-y-60,故直线2x-y-6=0右下方的区域就是2x-y-60,因此2x-y-6≥0表示直线右下方的区域(包含边界).题型一用二元一次不等式(组)表示平面区域[例1]画出下列不等式(组)表示的平面区域.(1)2x-y-6≥0;解:(2)不等式x3表示直线x=3左侧点的集合.不等式2y≥x,即x-2y≤0表示直线x-2y=0上及左上方点的集合.不等式3x+2y≥6,即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合.不等式3yx+9,即x-3y+90表示直线x-3y+9=0右下方点的集合.综上可得,不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分.(2)3,2,326,39.xyxxyyx＜＜方法技巧(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取它们的公共部分即可.其步骤为①画线;②定侧;③求“交”;④表示.(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负判定.即时训练1-1:画出不等式组5,23,20xyxyxy＞表示的平面区域.解析:不等式x+y≤5表示直线x+y-5=0及左下方的区域.不等式x-2y3表示直线x-2y-3=0右下方的区域.不等式x+2y≥0表示直线x+2y=0及右上方的区域.所以不等式组表示的平面区域如图所示.[备用例1](1)不等式组0,0,210,0xyxyxkyk表示的是一个轴对称四边形围成的区域,则k为()(A)1(B)-1(C)±1(D)±2(1)解析:在不等式组0,0,210xyxy所表示的平面区域中,三个顶点的坐标分别为(0,0),(2+1,0),(0,2+1),又x-ky+k=0表示的是过点(0,1)的直线,则当k0时,k=1满足条件(如图①);当k0时,k=-1满足条件(如图②).故当k=-1或1时不等式组0,0,210,0xyxyxkyk表示的是一个轴对称四边形围成的区域.故选C.(2)将图中阴影部分表示的平面区域,用不等式表示出来.(2)解:由图(1)可知,其边界所在的直线在x轴和y轴上的截距均为1,故边界所在的直线方程为x+y-1=0,将原点(0,0)代入直线方程x+y-1=0的左边,得0+0-10,故所求的不等式为x+y-1≤0;由图(2)知,其边界所在的直线方程为2x+1y=1,即x-2y+2=0,将原点(0,0)代入直线方程x-2y+2=0的左边,得0-2×0+20,故所求的不等式为x-2y+2≤0.题型二二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积[例2]画出不等式组210,250,2xyxyyx所表示的平面区域,并求其面积.解:如图所示,其中的阴影部分便是欲表示的平面区域.由20,250,xyxy得A(1,3).同理得B(-1,1),C(3,-1).所以|AC|=222(4)=25,而点B到直线2x+y-5=0的距离为d=2155=65,所以S△ABC=12|AC|·d=12×25×65=6.方法技巧求平面区域的面积的方法求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积.若图形为规则的,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采取分割的方法,将平面区域分为几个规则图形求解.(A)48(B)24(C)36(D)64即时训练2-1:(2019·山东青岛质检)不等式组(4)(1)0,14xyxyx表示的平面区域的面积等于()解析:如图,作出不等式组所表示的平面区域,由图可知该平面区域是一个梯形ABCD(AB∥CD).由40,1xyx求得A(1,5);由10,1xyx求得B(1,0);由10,4xyx求得C(4,-3);由40,4xyx求得D(4,8),所以|AB|=5,|CD|=11,高为4-1=3.所以梯形的面积为S=12(|AB|+|CD|)×3=12(5+11)×3=24.故选B.题型三二元一次不等式组表示平面区域的实际应用[例3]投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米;投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,用数学关系式和图形表示上述要求.规范解答:设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,则2314,29,0,0.xyxyxy…………………6分用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界).………12分方法技巧用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时,可先根据问题的需要选取关键作用的关联较多的两个量用字母表示,进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来,再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式,再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可.即时训练3-1:某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1h和2h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3h和1h.又木工、漆工每天工作分别不得超过8h和9h.请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.解:设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x和y,它们满足的数学关系式为28,39,0,N,0,N.xyxyxxyy分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域,然后取公共部分,如图中的阴影部分所示,生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.[备用例2](2019·浙江温州高二月考)配制A,B两种药品,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药品需甲料3mg,乙料5mg;配一剂B种药品需甲料5mg,乙料4mg.今有甲料20mg,乙料25mg,若A,B两种药品至少各配一剂,问共有多少种不同的配制方法?解:设A,B两种药品分别配x剂,y剂(x,y∈N*).由题意得,甲料乙料A药品/剂3mg5mgB药品/剂5mg4mg共计20mg25mg则有**1,N,1,N,3520,5425.xxyyxyxy作出平面区域,如图阴影部分所示.因为x,y∈N*,所以在区域内作出所有格点(整数点).由图示可知,区域内的所有整点为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),共8个点.所以在至少各配一剂的情况下,共有8种不同的配制方法.题型四易错辨析——虚实不分,位置不明致误[例4]画出不等式(x-y)(x+2y-2)0所表示的平面区域.错解一:原不等式转化为0,220,xyxy＞＞因为x-y0表示直线x-y=0的右下方,x+2y-20表示直线x+2y-2=0的右上方.所以(x-y)(x+2y-2)0表示的平面区域如图所示(阴影部分).错解二:原不等式等价转化为0,220xyxy＞＞或0,220,xyxy＜＜因为0,220xyxy＞＞表示直线x-y=0的右下方,x+2y-2=0的右上方区域;0,220xyxy＞＞表示直线x-y=0的左上方,x+2y-2=0的左下方区域.所以(x-y)(x+2y-2)0表示的平面区域如图所示(阴影部分).正解:原不等式等价转化为0,220,xyxy＞＞①或0,220,xyxy＜＜②因为①表示直线x-y=0的右下方,x+2y-2=0的右上方区域(不包括边界),纠错:以上两种方法均犯了实线与虚线不分的错误,这一点经常被忽视,同时错解一并不是等价转化.②表示直线x-y=0的左上方,x+2y-2=0的左下方区域(不包括边界).所以(x-y)(x+2y-2)0表示的平面区域如图所示(阴影部分).学霸经验分享区(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0或Ax+By+C0在平面直角坐标系内表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域.(2)在画二元一次不等式表示的平面区域时,应用“直线定边界、特殊点定区域”的方法来画区域.取点时,若直线不过原点,一般用“原点定区域”;若直线过原点,则取点(1,0)即可.总之,尽量减少运算量.(3)画平面区域时,注意边界线的虚实问题.课堂达标解析:作出不等式3x-2y-60的平面区域如图所示.故选D.1.不等式3x-2y-60表示的平面区域在直线3x-2y-6=0的()(A)左上方(B)右上方(C)左下方(D)右下方D(A)(0,2)(B)(-2,0)(C)(0,-2)(D)(2,0)C解析:验证法,把四个点分别代入不等式组进行验证知,只有(0,-2)在平面区域内.故选C.2.给出的下列四个点中,位于10,10xyxy＜＞表示的平面区域内的点是()3.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为2∶3,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人,请工人数的限制条件是()(A)*235,Nxyxy(B)5040200023xyxy(C)*5420023,Nxyxyxy