2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3

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3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题第三章不等式课前自主预习简单的线性规划问题1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)约束条件是关于变量的不等式,其中次数必须为1.()(2)线性目标函数的最优解一定是唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上.()(4)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()××××2.做一做(1)将目标函数z=2x-y看成直线方程时,则该直线的纵截距等于________.(2)若变量x,y满足约束条件y≤1,x+y≥0,x-y-2≤0,则z=x-2y的最小值为________.-z-3(3)(教材改编P89例6)某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件5x-11y≥-22,2x+3y≥9,2x≤11,x∈N*,y∈N*,则z=10x+10y的最大值是________.(4)若x、y满足x+y≥6,x≤4,y≤4,则z=y-1x-1的最大值是____.903课堂互动探究探究1求线性目标函数的最值例1设z=2x+y,式中变量x,y满足条件x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,求z的最大值和最小值.解作出不等式组x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1表示的平面区域(即可行域),如图所示.把z=2x+y变形为y=-2x+z,得到斜率为-2,在y轴上的截距为z,随z变化的一组平行直线.由图可看出,当直线z=2x+y经过可行域上的点A时,截距z最大,经过点B时,截距z最小.解方程组x-4y+3=0,3x+5y-25=0,得A点坐标为(5,2),解方程组x=1,x-4y+3=0,得B点坐标为(1,1),所以zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3.拓展提升解线性规划问题的关键是准确地作出可行域,正确理解z的几何意义,对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.【跟踪训练1】若实数x,y满足不等式组2≤2x-y≤4,x≤3,y≥-3,求下列目标函数的最大值,以及此时x,y的值.(1)z=x-y;(2)z=x+3y+1.解(1)在平面直角坐标系中画出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=x-z经过点A12,-3时,直线在y轴上的截距-z最小,为-72,所以当x=12,y=-3时,z取得最大值72.(2)当直线y=-13x+z-13经过点B(3,4)时,直线在y轴上的截距z-13最大,所以当x=3,y=4时,z取得最大值16.探究2求非线性目标函数的最值例2变量x,y满足x-4y+3≤0,3x+5y-25≤0,x≥1,(1)设z=yx,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.解由约束条件x-4y+3≤0,3x+5y-25≤0,x≥1,作出(x,y)的可行域如图所示.由x=1,3x+5y-25=0,解得A1,225.由x=1,x-4y+3=0,解得C(1,1),由x-4y+3=0,3x+5y-25=0,解得B(5,2).(1)∵z=yx=y-0x-0,∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmin=kOB=25.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域中的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域中的点到原点的距离中,dmin=|OC|=2,dmax=|OB|=29,∴2≤z≤29.拓展提升求非线性目标函数最值的方法对于非线性目标函数的最值问题,弄清楚它的几何意义是解题的关键.常见的目标函数有三类:(1)形如z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数,对于该类型的目标函数均可化为可行域内的点(x,y)与点(a,b)间的距离的平方的最值问题.特别地,x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离.(2)形如z=ay+bcx+d(ac≠0)型的目标函数,对于该类型的目标函数可先变形为z=ac·y--bax--dc的形式,将问题化为求可行域内的点(x,y)与点-dc,-ba连线斜率的ac倍的取值范围、最值等.特别地,yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;y-bx-a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(3)对形如z=|Ax+By+C|(A2+B2≠0)型的目标函数,可先变形为z=A2+B2·|Ax+By+C|A2+B2的形式,将问题化为求可行域内的点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的A2+B2倍的最值.【跟踪训练2】实数x,y满足x+y-2≥0,x+3y-6≤0,x-2≤0,则x2+y2+2x+2y的最小值为()A.8B.6C.5D.4解析由题意,易知x2+y2+2x+2y=(x+1)2+(y+1)2-2,表示已知约束条件的可行域内的点到点(-1,-1)距离的平方与2的差,如下图所示,结合图形可知点A与B,C两点连线段的斜率的范围为13,3,而过点A的直线与BC垂直时其斜率为1,故点A与可行域内点的最小距离即为点A到直线x+y-2=0的距离,从而(x2+y2+2x+2y)min=|-1-1-2|22-2=6.探究3已知目标函数的最值求参数例3已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为________.解析由约束条件画出可行域(如图).点C的坐标为(3,1),z最大时,即平移y=-ax时,使直线在y轴上的截距最大,∴-akCD,即-a-1,∴a1.a1拓展提升求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题已知目标函数的最值求参数是线性规划的逆向思维问题,解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思想方法求解,同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的大小关系.【跟踪训练3】记不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,则a的取值范围是________.12,4解析满足约束条件的平面区域如图所示,因为直线y=a(x+1)过定点(-1,0),故当y=a(x+1)过点B(0,4)时,得到a=4,当y=a(x+1)过点A(1,1)时,得到a=12.又因为直线y=a(x+1)与平面区域有公共点,故12≤a≤4.探究4线性规划的实际应用例4某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元);(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300(x,y∈N).(2)约束条件为5x+7y+4100-x-y≤600,100-x-y≥0,x∈N,y∈N,整理得x+3y≤200,x+y≤100,x∈N,y∈N.目标函数为W=2x+3y+300,作出可行域为如图所示阴影部分中的整数点.初始直线l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,W有最大值.由x+3y=200,x+y=100,得x=50,y=50,最优解为A(50,50),所以Wmax=550(元).答:每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,为550元.拓展提升利用线性规划解决实际问题的步骤是:①设出未知数(当数据较多时,可以列表格来分析数据);②列出约束条件,确立目标函数;③作出可行域;④利用图解法求出最优解;⑤得出结论.【跟踪训练4】某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物,一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24立方米,总重量不低于650千克.甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润,列表如下:货物每袋体积(单位:立方米)每袋重量(单位:百千克)每袋利润(单位:百元)甲5120乙42.510问:在一个大集装箱内,这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时,可获得最大利润?解设一个大集装箱托运甲种货物x袋,乙种货物y袋,获得利润为z(百元),则目标函数为z=20x+10y.依题意得,关于x,y的约束条件为5x+4y≤24,x+2.5y≥6.5,x≥0,y≥0,即5x+4y≤24,2x+5y≥13,x≥0,y≥0.作出上述不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.由目标函数z=20x+10y,可得y=-2x+z10.当直线y=-2x+z10的纵截距最大时,对应的目标函数z=20x+10y也会取得最大值.画直线l0:20x+10y=0,平行移动l0到直线l的位置,当直线l过直线5x+4y=24与2x+5y=13的交点M时,目标函数z=20x+10y取得最大值.解方程组5x+4y=24,2x+5y=13,得点M(4,1).因此,当x=4,y=1时,z取得最大值,此时z最大值=20×4+10×1=90.答:在一个大集装箱内装甲种货物4袋,乙种货物1袋时,可获得最大利润,最大利润为9000元.[规律小结]1.线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何利用它们完成更多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.2.解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法,其步骤如下:(1)确定线性约束条件,注意把题中的条件准确翻译为不等式组;(2)确定线性目标函数;(3)画出可行域,注意作图准确;(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解;(5)实际问题需要整数解时,应调整检验确定的最优解(调整时,注意抓住“整数解”这一关键点).[走出误区]易错点⊳忽略截距与目标函数值的关系而致错[典例]设E为平面上以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),求z=4x-3y的最大值与最小值.[错解档案]把目标函数z=4x-3y化为y=43x-13z.根据条件画出图形如图所示,当动直线y=43x-13z通过点C时,z取最大值;当动直线y=43x-13z通过点B时,z取最小值.∴zmin=4×(-1)-3×(-6)=14;zmax=4×(-3)-3×2=-18.[误区警示]直线y=43x-13z在y轴上的截距是-13z,当截距-13z最大即直线过点C时,目标函数值z最小;而当截距-13z最小即直线过点B时,目标函数值z最大,此处容易出错.[规范解答]把目标函数z=4x-3y化为y=43x-13z.当动直线y=43x-13z通过点B时,z取最大值;当动直线y=43x-13z通过点C时,z取最小值.∴zmin=4×(-3)-3×2=-18;zmax=4×(-1)-3×(-6)=14.[名师点津]由目标函数z=ax+by(b≠0),得y=-abx+zb.直线y=-abx+zb在y轴上的截距为zb.当b0时,目标函数值与直线在y轴上的截距同步达到最大值和最小值;当b0时,情形正好相反.随堂达标自测1.设变量x,y满足约束条件:y≥x,x+2y≤2,x≥-2,则z=x-3y的最小值为()A.-2B.-4C.-6D.-8解析作出约束条件:y≥x,x+2y≤2,x≥-2表示的可行域,如图所示.令z=0,则l0:x-3y=0.平移l0,在点M(-2,2)处z取到最小值,最小值z=-2-3×2=-8.2.实数x,y满足不等式组y≥0,x-

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