2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3

3．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域第三章不等式课前自主预习1.二元一次不等式(1)定义：，称为二元一次不等式．(2)解集：，称为二元一次不等式(组)的解集．□01含有两个未知数□02并且未知数的次数是1的不等式□03满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)□04所有这样的有序数对(x，y)构成的集合2．二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式Ax＋By＋C0表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成，以表示区域边界二元一次不等式Ax＋By＋C≥0表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成，以表示区域边界□05Ax＋By＋C＝0□06虚线□07不包括□08Ax＋By＋C＝0□09实线□10包括依据直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它们的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得符号都相同平面区域的确定方法在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由的符号可以断定Ax＋By＋C0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域□11Ax0＋By0＋C1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于不等式3x＋10不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．()(2)平面内的一条直线Ax＋By＋C＝0把整个平面分成两部分．()(3)点(1,2)在不等式组x＋y0，3x－y1所表示的平面区域内．()×××(4)不等式x－y＋1x＋y＋2≥0的解集等价于不等式组x－y＋1≥0，x＋y＋20的解集．()×2．做一做(1)(教材改编P86T2)不等式x－2y≥0表示的平面区域是图中的()(2)原点与点(－1,10)在直线x＋y－1＝0的________(填“同侧”或“两侧”)．两侧(3)点集A＝{(x，y)|x＋2y－1≥0，y≤x＋2,2x＋y－5≤0}，则原点O(0,0)与点集A的关系是________，点M(1,1)与点集A的关系是________．(4)表示如图阴影部分的二元一次不等式组是______________．O∉AM∈Ax＋y－1≥0，x－2y＋2≥0课堂互动探究探究1点与平面区域例1已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx－2y＋10表示的平面区域内，求实数k的取值范围．解点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，则由题意得k－2×－2＋1≥0，－k－2×2＋1≥0，即k≥－5，k≤－3，解得－5≤k≤－3.[结论探究](1)把本例中点“均不在”改为“均在”，其他不变，怎样解答？解k－2×－2＋10，－k－2×2＋10⇒k－5，k－3，无解．(2)把本例中点“均不在”改为“两点在kx－2y＋1＝0的两侧”，其他不变，怎样解答？解P(1，－2)与P′(－1,2)在直线异侧，满足[k－2×(－2)＋1][－k－2×2＋1]0，解得k－3或k－5.拓展提升通常情况下，若某点在某平面区域内，则该点的坐标满足平面区域所对应的不等式(组)，若某点不在某区域内，则该点的坐标不满足平面区域所对应的不等式(组)．【跟踪训练1】若原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．{0,2}C．(0,2)D．[0,2]解析因为原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0两侧，所以－a(2－a)0，即a(a－2)0，解得0a2.探究2二元一次不等式(组)表示平面区域例2(1)画出不等式3x＋2y＋6＞0表示的平面区域；(2)画出不等式组y≥－x＋1，2xy表示的平面区域．解(1)①画出直线3x＋2y＋6＝0，因为这条直线上的点不满足3x＋2y＋6＞0，所以画成虚线．②取原点(0,0)，代入3x＋2y＋6.因为3×0＋2×0＋6＞0，所以原点在不等式3x＋2y＋6＞0表示的区域内．所以不等式3x＋2y＋6＞0表示的区域如图所示．(2)如图所示，不等式y≥－x＋1表示直线y＝－x＋1右上方(包括直线)的平面区域；不等式2xy表示直线2x－y＝0左上方(不包括直线)的平面区域．取两区域重叠的部分，所以不等式组y≥－x＋1，2xy表示的平面区域为图中的阴影部分．拓展提升画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤(1)画线：画出各个不等式对应方程表示的直线，注意实虚线的选取．(2)定侧：利用特殊点确定各个不等式表示的平面区域．(3)求交：求每个不等式表示的区域的公共部分．(4)表示：将所得区域用阴影表示出来．【跟踪训练2】(1)画出不等式组x＋y≤5，x－2y3，x＋2y≥0表示的平面区域；(2)如图所示，已知△ABC的三个顶点A(0,0)，B(2,1)，C(1,2)，写出表示△ABC及其内部区域的不等式组．解(1)不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0及左下方的区域．不等式x－2y3表示直线x－2y－3＝0右下方的区域．不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及右上方的区域．所以不等式组表示的平面区域如图所示．(2)直线AC的方程为y＝2x，即2x－y＝0，直线AB的方程为y＝12x，即x－2y＝0，直线BC的方程为y－12－1＝x－21－2，即x＋y－3＝0，选择点(1,0)代入以上三个方程左端得2×1－00,1－2×00,1＋0－30，由此结合图形可知，表示△ABC及其内部区域的不等式组为2x－y≥0，x－2y≤0，x＋y－3≤0.探究3不等式(组)表示平面区域的应用例3(1)试求出y≤2及|x|≤y≤|x|＋1围成的几何图形的面积；(2)由不等式组y≥0，y≤x，y≤2－x，t≤x≤t＋10t1所确定的平面区域的面积S＝f(t)，试求f(t)的表达式．解(1)将已知条件变形为y≤2，x0，y≥x，y≤x＋1或y≤2，x0，y≥－x，y≤－x＋1，作出这两个不等式组所围成的平面区域，如图阴影部分所示．故围成的几何图形的面积S＝12×4×2－12×2×1＝3.(2)由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP，如图所示，其面积S＝f(t)＝S△OPD－S△AOB－S△ECD，而S△OPD＝12×1×2＝1，S△AOB＝12t2，S△ECD＝12(1－t)2，所以S＝f(t)＝1－12t2－12(1－t)2＝－t2＋t＋12(0t1)．[变式探究]若本例(2)中改为求所确定的平面区域的面积的最大值，如何解答？解S＝f(t)＝－t2＋t＋12＝－(t2－t)＋12＝－t－122＋34.∴当t＝12时，S最大＝34.拓展提升求平面区域面积的方法(1)画出不等式组表示的平面区域．(2)判断平面区域的形状，并求得相关两直线的交点坐标、图形的边长、相关的线段长(三角形的高、四边形的高)等，利用图形的面积公式求解．若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形，然后求解．【跟踪训练3】(1)若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是()A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)(2)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3解析(1)如图，作出不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域如图所示：当直线y＝a介于直线y＝5(含该直线)与直线y＝7(不含该直线)之间时，符合题意．所以5≤a＜7.故选C.(2)由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，且a－1，∵S△ABC＝2，∴12(1＋a)×1＝2，解得a＝3.探究4不等式组表示平面区域的实际应用例4投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．解设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，则200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900，x≥0，y≥0，即2x＋3y≤14，2x＋y≤9，x≥0，y≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示的阴影部分(含边界)．拓展提升用平面区域表示实际问题的方法先根据问题的需要选取起关键作用并与其他量关联较多的两个量，用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中的限制条件以及问题中所有量均有实际意义的条件写出所有的不等式，画出这些不等式组成的不等式组表示的平面区域即可．注意在实际问题中列出不等式组时，必须考虑到所有的限制条件，不能遗漏任何一个．【跟踪训练4】某工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：品种电力/(kW·h)煤/(t)工人/(人)甲235乙852该工厂有工人200人，每天只能保证160kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150t，请在平面直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．解设每天生产甲、乙两种产品分别为xt和yt，生产xt甲产品和yt乙产品的用电量是(2x＋8y)kW·h，根据题意条件有2x＋8y≤160；用煤量为(3x＋5y)t，根据题意条件有3x＋5y≤150；需工人数为(5x＋2y)，根据题意条件有5x＋2y≤200；另外，x≥0，y≥0.综上所述，x，y应满足不等式组2x＋8y≤160，3x＋5y≤150，5x＋2y≤200，x≥0，y≥0，则甲、乙两种产品允许的产量范围是该不等式组表示的平面区域，即如图中阴影部分(含边界)所示．[规律小结]1.在平面内直线是如何分平面的在平面直角坐标系内，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：在直线Ax＋By＋C＝0上，在直线Ax＋By＋C＝0的上方区域内，在直线Ax＋By＋C＝0的下方区域内.2.如何判定二元一次不等式表示的平面区域方法一：特殊点判断法．在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式Ax＋By＋C0(或0)表示直线哪一侧的平面区域．提醒：当C≠0时，常取原点作为测试点，当C＝0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点．方法二：(1)B0时，Ax＋By＋C0可转化为y－ABx－CB，表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；B0时，Ax＋By＋C0可转化为y－ABx－CB，表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域．(2)B＞0时，Ax＋By＋C0可转化为y－ABx－CB，表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域；B0时，Ax＋By＋C0可转化为y－ABx－CB，表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．[走出误区]易错点⊳对平面区域判定不准致误[典例]画出不等式组x0，y0，x＋y－30表示的平面区域．[错解档案]不等式x0表示直线x＝0(即y轴)右侧的点的集合；不等式y0表示直线y＝0(即x轴)上方的点的集合；不等式x＋y－30表示直线x＋y－3＝0右上方的点的集合．故原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．[误区警示]画二元一次不等式表示的平面区域时，没有注意到利用特殊点来判定对应区域，画图时虚实不分．解答中，画出直线x＋y－3＝0后，应选一特殊点来验证不等式的解集应该对应直线的哪一侧的区域．[规范解答]不等式x0表示直线x＝0(即y轴)右侧的点的集合(不含边界)；不等式y0表示直线y＝0(即x轴)上方的点的集合(不含边界)；不等式x＋y－30表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合．所以原不等式组