2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2一元二次不等式 第一课时 一元二次不等式的解

一元二次不等式第一课时一元二次不等式的解法预习课本P75～80，思考并完成以下问题(1)什么样的不等式是一元二次不等式？(2)如何求解一元二次不等式？(3)怎样理解三个二次之间的关系？[新知初探]1．一元二次不等式我们把只含有未知数，并且未知数的的不等式叫做一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．一个最高次数是23．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集Rax2＋bx＋c0(a0)的解集∅x|xx1或xx2}xx≠－b2ax|x1xx2∅[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x0是一元二次不等式()(2)若a0，则一元二次不等式ax2＋10无解()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}()(4)不等式x2－2x＋30的解集为R()×××√解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)错误．因为a0，所以不等式ax2＋10恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误．当a0时，ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}，否则不成立．(4)正确．因为Δ＝(－2)2－120，所以不等式x2－2x＋30的解集为R.2．不等式x(2－x)＞0的解集为()A．{x|x＞0}B．{x|x＜2}C．{x|x＞2或x＜0}D．{x|0＜x＜2}解析：原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.答案：D3．不等式x2－2x－52x的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x5或x－1}C．{x|－1x5}D．{x|－1≤x≤5}解析：由x2－2x－52x，得x2－4x－50，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－50的解集为{x|x－1或x5}．答案：B4．不等式－3x2＋5x－40的解集为________．解析：原不等式变形为3x2－5x＋40.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－230，所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋40的解集为∅.答案：∅一元二次不等式的解法[典例]解下列不等式：(1)x2－x－60；(2)25x2－10x＋10；(3)－2x2＋x＋10.[解](1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－60的解集为{x|x3或x－2}．(2)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝15.结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象知25x2－10x＋10的解集为xx≠15.(3)法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－12，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为－12，0和(1,0)，如图，观察图象知不等式的解集为xx－12或x1.法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－10，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－12，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示．观察图象，可得原不等式的解集为xx－12或x1.一元二次不等式的2种方法(1)图象法：一般地，当a0时，解形如ax2＋bx＋c0(或≥0)或ax2＋bx＋c0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象；③由图象得出不等式的解集．对于a0的一元二次不等式，可以直接采取类似a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当pq时，若(x－p)(x－q)0，则xq或xp；若(x－p)(x－q)0，则pxq.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[活学活用]1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}C．{x|x≤－2或x＞3}D．{x|x＜－2或x≥3}解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．答案：A2．解下列不等式：(1)2＋3x－2x20;(2)x(4－x)≤x(x＋3)－3.解：(1)原不等式可化为2x2－3x－20，∴(2x＋1)(x－2)0.故原不等式的解集是x－12x2.(2)原不等式可化为2x2－x－3≥0，∴(2x－3)(x＋1)≥0，故原不等式的解集是xx≤－1或x≥32.简单分式不等式的解法[典例]解不等式：2x－1x＋31.[解]法一：原不等式化为2x－1x＋3－10，即x－4x＋30，所以x－4与x＋3同号．故有x－40，x＋30或x－40，x＋30.解得x4或x－3，所以原不等式的解集为{x|x－3或x4}．法二：原不等式化为x－4x＋30，等价于(x－4)(x＋3)0，∴原不等式解集为{x|x－3或x4}．简单的分式不等式在求解时多化为fxgx0，fxgx0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等式是否含有等号，如fxgx≥0⇔fx≥0，gx0或fx≤0，gx0，但不等价于f(x)g(x)≥0.[活学活用]不等式x－1x≥2的解集为____________．解析：x－1x≥2化为x－1x－2≥0，即－x－1x≥0，即x＋1x≤0.它等价于xx＋1≤0，x≠0⇒－1≤x0.∴原不等式解集为{x|－1≤x0}．答案：{x|－1≤x0}三个“二次”关系的应用[典例]已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为x－12＜x＜13，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．[解]因为x2＋px＋q＜0的解集为x－12＜x＜13，所以x1＝－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得13－12＝－p，13×－12＝q，解得p＝16，q＝－16.所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－16x2＋16x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．[活学活用]1．已知x的不等式ax－1x＋10的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，则a＝____________.解析：ax－1x＋10等价于(ax－1)(x＋1)0.即ax2＋(a－1)x－10.∴－1，－12是方程ax2＋(a－1)x－1＝0的根．∴－1＋－12＝－a－1a，－1×－12＝－1a，a0.解得a＝－2.答案：－22．已知不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}，求不等式cx2－bx＋a0的解集．解：由题意知2＋3＝－ba，2×3＝ca，a0，即b＝－5a，c＝6a，a0.代入不等式cx2－bx＋a0，得6ax2＋5ax＋a0(a0)．即6x2＋5x＋10，解得－12x－13，所以所求不等式的解集为x－12x－13.