2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不

3.2一元二次不等式及其解法第一课时一元二次不等式及其解法[目标导航]课标要求1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.素养达成通过对一元二次不等式及其解法的学习,培养学生数学抽象及直观想象的能力.新知导学课堂探究1.一元二次不等式只含有未知数,并且未知数的最高次数是的不等式,叫做一元二次不等式.新知导学·素养养成思考1:不等式ax2+5x+10是关于“x”的二次不等式吗?答案:不等式ax2+5x+10不一定是一元二次不等式,当a=0时,它是一元一次不等式;若题目中给出的条件是“一元二次不等式ax2+5x+10”,则隐含的条件是a≠0.一个22.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系根的判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根x1,2=242bbaca(x1x2)有两个相等的实数根x1=x2=-2ba没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠-2ba}R一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集{x|x1xx2}思考2:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=1,x2=3,那么不等式ax2+bx+c0(a≠0)的解集是{x|x1或x3}吗?答案:不一定.当a0时,其解集为{x|x1或x3};当a0时,其解集为{x|1x3}.名师点津从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)函数的角度:一元二次不等式ax2+bx+c0表示二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0,图象在x轴的上方;一元二次不等式ax2+bx+c0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围.(2)方程的角度:一元二次不等式ax2+bx+c0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.课堂探究·素养提升题型一解不含参数的一元二次不等式[例1]求下列一元二次不等式的解集.(1)9x2-6x+1≤0;解:(1)9x2-6x+1≤0即(3x-1)2≤0,而方程(3x-1)2=0的根是x=13,所以9x2-6x+1≤0的解集为{x|x=13}.解:(2)由-x2+2x3得x2-2x+30,方程x2-2x+3=0的判别式Δ=4-120,所以方程x2-2x+3=0无实根,所以原不等式的解集为.(3)由x2-2x+10得(x-1)20,方程(x-1)2=0的根为x=1,所以不等式x2-2x+10的解集为{x|x≠1}.(2)-x2+2x3;(3)x2-2x+10.方法技巧解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程根的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.即时训练1-1:求下列一元二次不等式的解集.(1)x2-5x6;(2)x2-6x+9≤0;(3)-x2+2x+80.解:(1)由x2-5x6,得x2-5x-60.因为x2-5x-6=0的两根是x=-1或6,所以原不等式的解集为{x|x-1或x6}.(2)由x2-6x+9≤0得(x-3)2≤0,所以原不等式的解集为{x|x=3}.(3)原不等式可化为x2-2x-80,又Δ=(-2)2-4×(-8)=360,所以方程x2-2x-8=0有两个不等实根x1=-2,x2=4,所以原不等式的解集为{x|-2x4}.[备用例1](1)已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-60},则M∩N为()(A){x|-4≤x-2或3x≤7}(B){x|-4x≤-2或3≤x7}(C){x|x≤-2或x3}(D){x|x-2或x≥3}解析:(1)因为M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-60}={x|x-2或x3},所以M∩N={x|-4≤x-2或3x≤7}.故选A.(2)函数y=lg(x2-4)+的定义域是()(A)(-∞,-2)∪[0,+∞)(B)(-∞,-6]∪(2,+∞)(C)(-∞,-2]∪[0,+∞)(D)(-∞,-6)∪[2,+∞)26xx解析:(2)由2240,60xxx得,22,06,xxxx或或所以x≤-6或x2.故选B.题型二解含参数的一元二次不等式(2)当a0时,-1a1,所以原不等式的解集为{x|x1或x-1a}.[例2]解关于x的不等式:ax2+(1-a)x-10.规范解答:原不等式可化为(x-1)(ax+1)0.(1)当a=0时,原不等式为x-10,所以解集为{x|x1}.(3)当a0时,①当-1a0时,-1a1,所以原不等式的解集为{x|1x-1a}.②当a=-1时,原不等式变为-(x-1)20,所以解集为.③当a-1时,-1a1,所以原不等式的解集为{x|-1ax1}.方法技巧解含参数的一元二次不等式时要对参数分类讨论(1)讨论二次项系数,按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类;(2)讨论根的判别式Δ0,Δ=0,Δ0;(3)讨论根的大小.讨论顺序可简记为“一a,二Δ,三两根大小”.即时训练2-1:解关于x的不等式x2-2ax-8a20.解:不等式x2-2ax-8a20可化为(x+2a)(x-4a)0.(1)当-2a=4a,即a=0时,不等式即为x20,解集为;(2)当-2a4a,即a0时,则4ax-2a;(3)当-2a4a,即a0时,则-2ax4a.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,原不等式解集为{x|4ax-2a};当a0时,原不等式解集为{x|-2ax4a}.[备用例2](1)解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30.解:(1)将不等式x2-(a+a2)x+a30变形为(x-a)(x-a2)0.因为a2-a=a(a-1),所以当a0或a1时,aa2,解集为{x|xa或xa2}.当0a1时,a2a,解集为{x|xa2或xa}.当a=0或1时,解集为{x|x∈R且x≠a}.综上知,当a0或a1时,不等式的解集为{x|xa或xa2};当0a1时,不等式的解集为{x|xa2或xa};当a=0或1时,不等式的解集为{x|x∈R或x≠a}.(2)解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.解:(2)Δ=k2+8k=k(k+8).当Δ0,即k-8或k0时,方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实数根,所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{x|(8)4kkk≤x≤(8)4kkk}.当Δ=0,即k=-8或k=0时,方程2x2+kx-k=0有两个相等的实数根,所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{-4k},所以,当k=-8时,不等式2x2+kx-k≤0的解集为{2};当k=0时,不等式2x2+kx-k≤0的解集为{0}.当Δ0,即-8k0时,方程2x2+kx-k=0无实数根,所以不等式2x2+kx-k≤0的解集为.题型三可化为一元二次不等式的简单分式不等式[例3]解下列不等式:(1)342xx≤14;解:(1)原不等式可化为342xx≤2-2,因为函数y=2x为增函数,所以x-3x-4≤-2,整理得223xxx≤0,即2230,0xxx或2230,0,xxx解得x≤-1或0x≤3,故原不等式的解集为(-∞,-1]∪(0,3].(2)12xx≤2.解:(2)移项,得12xx-2≤0,左边通分并化简,得52xx≤0,即52xx≥0,它的同解不等式为250,20,xxx所以x2或x≥5,所以原不等式的解集为{x|x2或x≥5}.方法技巧分式不等式转化为整式不等式的常见方法fxgx0⇔f(x)g(x)0,fxgx0⇔f(x)g(x)0,fxgx≥0⇔0,0,fxgxgxfxgx≤0⇔0,0.fxgxgx即时训练3-1:(2019·临沂高二检测)不等式3的解集是.1xx解析:因为1xx3,所以13xxx0,即21xx0,所以(2x-1)x0,解得x12或x0.答案:{x|x12或x0}[备用例3](1)(2019·广东深圳摸底)不等式≤x-1的解集是()(A)(-∞,-1)∪(1,3](B)[-1,1)∪[3,+∞)(C)[1,3)(D)(-∞,1]∪(3,+∞)(1)解析:当x-10,即x1时,不等式可化为4≤(x-1)2,即x-1≤-2或x-1≥2,解得x≤-1或x≥3.故此时的解集为{x|x≥3}.当x-10,即x1时,不等式可化为4≥(x-1)2,即-2≤x-1≤2,解得-1≤x≤3.故此时的解集为{x|-1≤x1}.综上,不等式的解集为[-1,1)∪[3,+∞).故选B.41x(2)(2019·齐鲁名校调研)函数y=ln(-1)的定义域为()(A)(0,1)(B)(1,+∞)(C)(-∞,0)∪(1,+∞)(D)(-∞,1)1x(2)解析:由函数解析式可得1x-10,即1xx0.不等式等价于x(x-1)0,解得0x1,所以函数的定义域为(0,1).故选A.(3)解:①423xx≤0⇒4230,230xxx⇒4230,230xxx⇒3{|4}2xxx或.(3)解下列分式不等式:①423xx≤0;②2131xx0;②2131xx0⇒(2x-1)(3x+1)0⇒{x|x12或x-13}.③1axx0⇒ax(x+1)0.当a0时,ax(x+1)0⇒x(x+1)0⇔{x|-1x0};当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,ax(x+1)0⇒x(x+1)0⇒{x|x0或x-1}.③1axx0.题型四易错辨析——忽略二次项系数的符号致误[例4]解不等式-6x2-x+2≥0.错解:因为方程-6x2-x+2=0的两个根为x1=-23,x2=12,所以不等式的解集为{x|x≥12或x≤-23}.纠错:没有注意到二次项系数小于0这个情况,此时应先把二次项系数化为正数,再进行求解.正解:不等式可转化为6x2+x-2≤0.因为方程6x2+x-2=0的两个根为x1=-23,x2=12,所以不等式的解集为{x|-23≤x≤12}.学霸经验分享区(1)对于一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0(a0)的求解,要善于联想两个方面的问题:①二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点及图象.②方程ax2+bx+c=0的根.(2)含有参数的不等式的求解,要注意按某一恰当的分类标准进行讨论.课堂达标解析:解不等式得-1≤x≤0.故选D.D1.不等式x(x+1)≤0的解集为()(A)[-1,+∞)(B)[-1,0)(C)(-∞,-1](D)[-1,0]2.不等式0的解集为()(A)(1,+∞)(B)(-∞,-2)(C)(-2,1)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)C解析:原不等式化为(x-1)(x+2)0,解得-2x1,所以原不等式的解集为(-2,1).故选C.12xx3.不等式2x≤x2+1的解集为()(A)(B)R(C){x|x≠1}(D){x|x1或x-1}B解析:2x≤x2