2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不

3．2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式及其解法习题课第三章不等式课前自主预习1.简单的分式不等式的解法2．一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔.ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)(kf(x))恒成立⇔；k≤f(x)(kf(x))恒成立⇔□03a0，Δ0□04a0，Δ0□05k≥f(x)max(kf(x)max)□06k≤f(x)min(kf(x)min)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(2)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()(4)不等式2－x4＋x0的解集为{x|－4x2}．()√××√2．做一做(1)不等式x－1x≥2的解集为________．(2)解不等式：(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0的解集为__________________________．(3)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．[－1,0){x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}[10,30](4)(教材改编P103T3)关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围为___________．(－∞，0]课堂互动探究探究1分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋13；(3)已知关于x的不等式a＋1x－3x－11.①当a＝1时，解该不等式；②当a0时，解该不等式．解(1)x＋1x－3≥0可以转化为(x＋1)(x－3)≥0且x≠3，解得x3或x≤－1，∴原不等式的解集为{x|x3或x≤－1}．(2)不等式5x＋1x＋13可等价转化为2x－1x＋10，即(x－1)(x＋1)0，解得－1x1，∴原不等式的解集为{x|－1x1}．(3)原不等式可化为a＋1x－3x－1－10，即ax－2x－10，等价于(ax－2)(x－1)0.①当a＝1时，不等式变为(x－1)(x－2)0，所以1x2，所以不等式的解集为{x|1x2}．②因为原不等式等价于(ax－2)(x－1)0，所以ax－2a(x－1)0，因为a0，所以x－2a(x－1)0，当2a1，即0a2时，解集为x1x2a；当2a＝1，即a＝2时，解集为∅；当2a1，即a2时，解集为x2ax1.拓展提升解分式不等式的三个注意点(1)解分式不等式一定要等价变形为标准形式，就是右边为零，左边为分式，然后再等价转化为不等式组或高次不等式来求解．(2)若分式不等式含等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要注意．(3)当分式不等式分母正负不确定时不可通过不等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等式．【跟踪训练1】解下列不等式：(1)5x－23x＋1≥0；(2)2－xx＋31.解(1)∵5x－23x＋1≥0⇔5x－23x＋1≥0，3x＋1≠0⇔x≤－13或x≥25，x≠－13⇔x－13或x≥25，∴原不等式的解集为xx－13或x≥25.(2)解法一：原不等式可化为x＋30，2－xx＋3或x＋30，2－xx＋3⇔x－3，x－12或x－3，x－12⇔－3x－12，∴原不等式的解集为x－3x－12.解法二：原不等式可化为2－x－x＋3x＋30⇔－2x－1x＋30⇔2x＋1x＋30⇔(2x＋1)(x＋3)0⇔－3x－12.∴原不等式的解集为x－3x－12.探究2简单高次不等式的解法例2解下列不等式：(1)x2＋2x3－x≥0；(2)2x2－5x＋13x2－7x＋2≤1.解(1)原不等式⇔x2＋2x3－x≥0，3－x≠0⇔xx＋2x－3≤0，①x－3≠0.②将①式的三个根－2,0,3在数轴上标出来，然后用一条曲线穿根(从最大的根右上方穿起)，如图所示，①式的解集为x≤－2或0≤x≤3.由②式知x≠3，∴原不等式的解集为{x|x≤－2或0≤x3}．(2)2x2－5x＋13x2－7x＋2≤1⇔2x2－5x＋1－3x2＋7x－23x2－7x＋2≤0⇔－x2＋2x－13x2－7x＋2≤0⇔x2－2x＋13x2－7x＋2≥0⇔x－123x－1x－2≥0，①3x－1x－2≠0.②①式中三个根为13，1,2，其中1为二重根．由图知，①式的解集为x≤13或x≥2或x＝1.由②式知x≠13，且x≠2，∴原不等式的解集为xx13或x2或x＝1.拓展提升穿根法求高次不等式的解集(1)求解过程概括为：化正⇒求根⇒标根⇒穿根⇒写集(注意端点值能否取到)．(2)“化正”指不等式中未知数次数最高项的系数为正值．(3)奇(奇次根)过，偶(偶次根)返回．【跟踪训练2】解不等式：x(x－1)2(x＋1)3(x－2)0.解原不等式可化为xx＋1x－2＞0，x－1≠0⇔－1＜x＜0或x＞2，x≠1⇔－1＜x＜0或x＞2.∴原不等式的解集为{x|－1x0或x2}．探究3不等式恒成立问题例3设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于m∈[－2,2]，f(x)－m＋5恒成立，求x的取值范围．解(1)要求mx2－mx－10恒成立．当m＝0时，显然恒成立；当m≠0时，应有m0，Δ＝m2＋4m0，解得－4m0.综合两种情况可得m的取值范围为－4m≤0.(2)将f(x)－m＋5变换成关于m的不等式：m(x2－x＋1)－60.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－60恒成立．∵x2－x＋10，∴g(m)在[－2,2]上单调递增．∴只要g(2)＝2(x2－x＋1)－60，即x2－x－20，∴－1x2.∴x的取值范围为－1x2.[变式探究]本例(2)中把“m∈[－2,2]”改为“x∈[－2,2]”，其他条件不变，求m的取值范围．解将f(x)－m＋5变为m(x2－x＋1)6，∵x2－x＋10，∴m6x2－x＋1＝6x－122＋34.∵x∈[－2,2]，x－122＋34max＝7，∴6x2－x＋1min＝67，∴m67.拓展提升有关不等式恒成立问题的等价转化方式(1)不等式ax2＋bx＋c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时a0，Δ0.(2)不等式ax2＋bx＋c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0，Δ0.(3)不等式有f(x)≤a恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a.(4)当二次项系数含有参数时，首先考虑二次项系数为零的情况．【跟踪训练3】若不等式x2－8x＋20mx2＋2m＋1x＋9m＋40对任意实数x恒成立，求m的取值范围．解∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋40，∴要使不等式x2－8x＋20mx2＋2m＋1x＋9m＋40对任意实数x恒成立，只要mx2＋2(m＋1)x＋9m＋40对于任意实数x恒成立．①当m＝0时，2x＋40，x－2，此时原不等式只对于x－2的实数x成立，∴m＝0不符合题意．②当m≠0时，要使不等式对任意实数x恒成立，须m0，Δ0，解得m14.∴m的取值范围是mm14.探究4一元二次不等式的实际应用例4某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米．(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？解(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似，所以DCAM＝NDNA，即x30＝20－AD20，解得AD＝20－23x.所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为S＝20x－23x2(0x30)．(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－23x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18，所以AB长度的取值范围为[12,18]．拓展提升解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系．(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题(自变量的取值范围)．【跟踪训练4】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x212，即x2＋10x－12000，解得x30或x－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30km/h.但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h.对于乙车，有0.05x＋0.005x210，即x2＋10x－20000，解得x40或x－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任．[规律小结]1.解不等式的基本思路解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不等式的逐步代换．基本思路是：代数化、分式整式化、有理化、低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元二次不等式上来．2.不等式恒成立问题有关不等式恒成立的问题，往往是求其中参数的取值范围．常用解法有：①分离参变量，转化为函数的最值问题；②构造函数法，利用基本函数求解．3.用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，把条件进行转化，或者画出示意图，理清各量满足的条件；(2)依据条件建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学问题，即一元二次不等式问题；(3)解所得的不等式，进而根据题目的实际意义解决原问题．[走出误区]易错点⊳忽略二次项系数为零而出错[典例]若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40的解集为R，求实数a的取值范围．[错解档案]不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40的解集为R，∴a－20，Δ0⇔a2，4a－22－4a－2－40⇔－2a2.[误区警示]当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[规范解答]当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－40，所以a＝2时成立．当a－2≠0时，由题意得a－20，Δ0.即a2，4a－2