2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时 一元二次不

3．2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法第三章不等式课前自主预习1.一元二次不等式的定义，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集叫做一元二次不等式的，叫做一元二次不等式的解集．□01只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式□02使一元二次不等式成立的x的值□03解□04所有的解组成的集合3．一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a0)的根x1，x2x0＝－b2a没有实数根Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c0(a0)的解集ax2＋bx＋c0(a0)的解集□05{x|xx1或xx2}□06xx≠－b2a□07R□08{x|x1xx2}□09∅□10∅1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．()(2)(x＋a)(x＋a＋1)0是一元二次不等式．()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx＋c＝0的解有关．()(4)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式f(x)0的解集不可能为{x|x1xx2}．()×√√×2．做一做(1)(教材改编P80T1(1))不等式x(x＋1)≤0的解集为()A．[－1，＋∞)B．[－1,0)C．(－∞，－1]D．[－1,0](2)不等式－x2－3x＋40的解集为____________．(3)当a0时，若ax2＋bx＋c0的解集为R，则Δ应满足的条件为________．(4)已知不等式ax2－bx＋20的解集为{x|1x2}，则a＋b＝________.{x|－4x1}Δ04课堂互动探究探究1不含参数的一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋30；(2)－x2＋8x－30；(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－814≥0；(5)－12x2＋3x－50；(6)－2x2＋3x－20.解(1)因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12，又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx－12或x－3.(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－13，x2＝4＋13，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13x4＋13}．(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(4)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(5)原不等式可化为x2－6x＋100，因为Δ＝62－40＝－40，所以原不等式的解集为∅.(6)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以原不等式的解集为R.拓展提升解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)根据图象写出不等式的解集．【跟踪训练1】求下列不等式的解集：(1)x2－3x＋1≤0；(2)3x2＋5x－20；(3)－9x2＋6x－10；(4)x2－4x＋50；(5)2x2＋x＋10.解(1)因为Δ＝9－4＝50，所以方程x2－3x＋1＝0有两个不等实数根x1＝3－52，x2＝3＋52，所以原不等式的解集为x3－52≤x≤3＋52.(2)原不等式可化为(3x－1)(x＋2)0，所以原不等式的解集为xx13或x－2.(3)原不等式可化为(3x－1)20，所以原不等式的解集为xx≠13，x∈R.(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－40，所以原不等式的解集为R.(5)因为Δ＝12－4×2＝－70，所以原不等式的解集为∅.探究2含参数的一元二次不等式的解法例2解关于x的不等式(a∈R)：(1)2x2＋ax＋20；(2)ax2－(a＋1)x＋10.解(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当Δ0，即－4a4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝14(－a－a2－16)，x2＝14(－a＋a2－16)．当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a4或a－4时，原不等式的解集为xx14－a－a2－16或x14－a＋a2－16；当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．(2)若a＝0，原不等式⇒－x＋10⇒x1；若a0，原不等式⇒x－1a(x－1)0⇒x1a或x1；若a0，原不等式⇒x－1a(x－1)0，(*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故①当a＝1时，式(*)⇒x∈∅；②当a1时，式(*)⇒1ax1；③当0a1时，式(*)⇒1x1a.综上所述，当a0时，解集为xx1a或x1；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为x1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x1ax1.拓展提升解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式，分类讨论的结果最后不能合并．【跟踪训练2】(1)解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a30；(2)解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.解(1)原不等式可化为(x－a)(x－a2)0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2.由a2－a＝a(a－1)可知：①当a0或a1时，a2a.解原不等式得xa2或xa.②当0a1时，a2a，解原不等式得xa或xa2.③当a＝0时，原不等式为x20，∴x≠0.④当a＝1时，原不等式为(x－1)20，∴x≠1.综上可知：a0或a1时，原不等式的解集为{x|xa或xa2}；当0a1时，原不等式的解集为{x|xa2或xa}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．(2)方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}；当a＝－1时，原不等式的解集为∅；当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}．探究3“三个二次”之间的转化关系例3若不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－3x4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b0的解集．解因为ax2＋bx＋c0的解集为{x|－3x4}，所以a0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得－3＋4＝－ba，－3×4＝ca，即b＝－a，c＝－12a.所以不等式bx2＋2ax－c－3b0，即为－ax2＋2ax＋15a0，即x2－2x－150，故所求的不等式的解集为{x|－3x5}．[变式探究]本例中把{x|－3x4}改为{x|x－3或x4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解因为ax2＋bx＋c0的解集为{x|x－3或x4}，所以a0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得－3＋4＝－ba，－3×4＝ca，即b＝－a，c＝－12a，所以不等式bx2＋2ax－c－3b0，即为－ax2＋2ax＋15a0，即x2－2x－150，解得x－3或x5，故所求不等式的解集为{x|x－3或x5}．拓展提升三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【跟踪训练3】(1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集是xx－2或x－12，则ax2－bx＋c0的解集为________________；(2)已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax2＋bx－10的解集为_____________．x12x2x12x1解析(1)由题意可得－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a0，故－2＋－12＝－ba，－2×－12＝ca，解得a＝c，b＝52c，所以不等式ax2－bx＋c0即为2x2－5x＋20，解得12x2.(2)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得－12＋2＝－ba，－12×2＝2a，∴a＝－2，b＝3，故ax2＋bx－10可变为－2x2＋3x－10，即2x2－3x＋10，解得12x1.[规律小结]1.对一元二次不等式概念的三点说明(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．(3)必须是整式不等式．2.解含参数的不等式时应注意的问题(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．(2)了解哪些情况需要分类讨论．①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论．②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．③若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ0，Δ＝0，Δ0三种情况进行讨论．[走出误区]易错点⊳解含参数的不等式时分类讨论不全出错[典例]解关于x的不等式(x－2)(ax－2)0.[错解档案]当a＝0时，原不等式化为x－20，其解集为{x|x2}；当a≠0时，方程(x－2)(ax－2)＝0的两根为x1＝2，x2＝2a.(1)当2a＝2，即a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2，x∈R}；(2)当2a2，即0a1时，原不等式的解集为xx2a或x2；(3)当2a2，即a0或a1时，原不等式的解集为xx2a或x2.综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x2}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2，x∈R}；当0a1时，原不等式的解集为xx2a或x2；当a0或a1时，原不等式的解集为xx2a或x2.[误区警示]当a0或a1时，只注意到了2a2，而忽略了当a0时，原不等式二次项系数为负数，此时不等式的解集为x