搜索
第三章不等式3．2基本不等式与最大(小)值基本不等式与最值已知x，y都为正数，(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．s242p判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值．()(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值．()(3)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．()(4)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.()(5)函数f(x)＝x2＋2x2＋1的最小值为22－1.()√√××√如果a＋b＝1，那么ab的最大值是()A.18B．14C.12D．1答案：B已知0x1，则x(1－x)取得最大值时x的值为()A.34B．12C.14D．23答案：B若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn0，则1m＋2n的最小值为________．解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，所以1m＋2n＝2m＋nm＋2（2m＋n）n＝4＋nm＋4mn≥8.答案：8利用基本不等式求最值的关注点(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋px(p0)的单调性求得函数的最值．利用基本不等式求最值(1)已知x2，则y＝x＋4x－2的最小值为________．(2)若0x12，则函数y＝12x(1－2x)的最大值是________．【解析】(1)因为x2，所以x－20，所以y＝x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2（x－2）·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋4x－2的最小值为6.(2)因为0x12，所以1－2x0，所以y＝12x·(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋1－2x22＝14×14＝116，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝14时，ymax＝116.答案：(1)6(2)116若把本例(1)中的条件“x2”改为“x2”．其他条件不变，则结论如何？解：因为x2，所以2－x0，所以y＝x＋4x－2＝－（2－x）＋42－x＋2≤－2（2－x）42－x＋2＝－2，当且仅当2－x＝42－x，得x＝0或x＝4(舍去x＝4)，即x＝0时，等号成立．故y＝x＋4x－2的最大值为－2.利用基本不等式求最大值或最小值的注意事项(1)x，y一定都是正数．(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”．1.(1)已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．(2)设0x≤2，则函数f(x)＝x（8－2x）的最大值为________．解析：(1)依题意得y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝t2－4t＋1t(t0)的最小值是－2.(2)因为0x≤2，所以02x≤4，8－2x≥40，故f(x)＝x（8－2x）＝12·2x·（8－2x）＝12·2x·（8－2x）≤12×82＝22，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，所以当x＝2时，f(x)＝x（8－2x）的最大值为22.答案：(1)－2(2)22利用基本不等式求条件最值(1)设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．42C．26D．8(2)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．【解析】(1)因为a，b是实数，所以2a＞0，2b＞0，于是2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝223＝42，当且仅当a＝b＝32时取得最小值42.(2)注意到消元有难度，而目标是x＋y，且条件可以构造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－x＋y22＝34(x＋y)2，所以43≥(x＋y)2，所以x＋y≤233，当且仅当x＝y0且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝33时等号成立．答案：(1)B(2)233利用基本不等式求条件最值的基本方法(1)有为“1”的等式时，将“1”整体代入，展开，运用基本不等式．(2)利用条件等式统一变形，然后配凑出利用基本不等式的条件．(3)直接将条件变形配凑出积(和)为定值的形式．(4)含有二次函数、指数函数、对数函数模型的不等式，应将函数的单调性与基本不等式有机地结合起来，使问题得以解决．2.(1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，则12mn的最大值为________．(2)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求2x＋5y的最小值．解：(1)因为m，n＞0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤m＋n22＝1622＝64.当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.所以12mn的最大值为32.故填32.(2)因为lgx＋lgy＝1，所以xy＝10，所以2x＋5y≥210xy＝2，当且仅当2x＝5y，即x＝2，y＝5时，等号成立，故2x＋5y的最小值为2.利用基本不等式解实际应用题如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？【解】法一：设矩形广告牌的高为xcm，宽为ycm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，y－252cm，其中x20，y25，则两栏面积之和为2(x－20)×y－252＝18000，由此得y＝18000x－20＋25，所以广告牌的面积S＝xy＝x18000x－20＋25＝18000xx－20＋25x，整理得S＝360000x－20＋25(x－20)＋18500.因为x－200，所以S≥2360000x－20×25（x－20）＋18500＝24500.当且仅当360000x－20＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝18000x－20＋25，得y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500.故当广告牌的高为140cm，宽为175cm时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000，其中a0，b0.易知广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm.广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋225a·40b＝24500，当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝58a，代入ab＝9000得a＝120，b＝75.即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500.故当广告牌的高为140cm，宽为175cm时，可使矩形广告牌的面积最小．利用基本不等式解决实际问题的思路利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋bx≥2ab(a0，b0，x0)上靠拢．3.(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：(1)每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，且x0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．故填5；8.(2)设矩形菜园的长为xm、宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.由xy≤x＋y2＝182＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.思想方法分类讨论思想求函数的值域求函数y＝2xx2＋1的值域．【解】当x＞0时，y＝2xx2＋1＝2x＋1x，因为x＋1x≥2，所以0＜2x＋1x≤1，所以0＜y≤1，当且仅当x＝1时取等号．当x＜0时，y＝2xx2＋1＝2x＋1x＝2－[（－x）＋1（－x）].因为x＜0，所以－x＞0，所以(－x)＋1（－x）≥2，所以0＜2（－x）＋（－1x）≤1，所以－1≤2x＋1x＜0，所以－1≤y＜0，当且仅当x＝－1时，取等号．当x＝0时，y＝0，所以函数y的值域为[－1，1]．应用基本不等式求值域(或最值)时，需要涉及的字母均为正数，若字母的正负不确定，需分正、负两种情况讨论求值域(最值)，在验证等号成立的条件时，有些尽管形式上适合于用基本不等式求解，但等号不一定能取到，此时，要采用分类讨论思想解决．1．若x4，则函数y＝x＋1x－4的最值情况是()A．有最大值－6B．有最小值6C．有最大值－2D．有最小值2解析：选B.因为x4，所以x－40，所以y＝x＋1x－4＝(x－4)＋1x－4＋4≥2＋4＝6.当且仅当x－4＝1x－4，即x＝5时，取“＝”号．2．设x，y为正数，则(x＋y)1x＋9y的最小值为()A．16B．9C．12D．15解析：选A.因为x，y为正数，所以(x＋y)1x＋9y＝1＋9＋yx＋9xy≥16，当且仅当y＝3x时，等号成立．3．已知a，b∈R，若a2＋b2＝1，则ab有最________值为________；若ab＝1，则a2＋b2有最________值为________．解析：由a2＋b2≥2ab可知，当a2＋b2＝1时，ab≤12，故ab有最大值为12；当ab＝1时，a2＋b2≥2，a2＋b2有最小值2.答案：大12小24．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，求实数a的取值范围．解：因为x0，所以xx2＋3x＋1＝1x＋3＋1x≤12＋3＝15.所以a≥15.