2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式课件 新人教A版必修5

第三章不等式3.1不等关系与不等式[目标导航]课标要求1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2.会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质解决问题.素养达成通过对不等关系与不等式的学习,培养学生数学抽象与逻辑推理能力.新知导学课堂探究新知导学·素养养成1.比较实数a,b的大小(1)文字叙述如果a-b是,那么ab;如果a-b,那么a=b;如果a-b是,那么ab.反过来也对.正数等于零负数(2)符号表示a-b0⇔ab;a-b=0⇔ab;a-b0⇔ab.=思考1:不等关系与不等式有何区别?答案:(1)不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用文字:大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于或符号:、、≠、≥、≤表示.(2)不等式则是用不等符号来表示不等关系的式子,可用“ab”“ab”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.2.不等式的性质(1)对称性:ab⇔.(2)传递性:abbc⇒.(3)可加性:Rabc⇒a+cb+c.(4)可乘性:0abc⇒acbc,0abc⇒acbc.(5)同向可加性:abcd⇒a+cb+d.baac(6)同向同正可乘性:00abcd⇒.(7)可乘方性:0N,1abnn⇒anbn.(8)可开方性:0N,2abnn⇒.acbdnnab思考2:应用不等式的性质时,要注意什么问题?答案:(1)同向不等式不能相减.(2)异向不等式不能相加.(3)两边同乘或除以一个负数,不等号要改变方向.(4)ab0,cd0⇒acbd与ab,cdacbd易混淆,其中,应注意它们的区别,前一个各项为正,后一个没有明确正负,故不成立.名师点津(1)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是ab或a=b,等价于“a不小于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则a≥b正确.②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是ab或a=b,等价于“a不大于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则a≤b正确.(2)作商法比较大小的步骤及适用范围①作商法比较大小的三个步骤作商变形;与1比较大小;得出结论.②作商法比较大小的适用范围.要比较的两个数同号;比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时,常用作商法.课堂探究·素养提升题型一用不等式(组)表示不等关系解:设购买A型汽车和B型汽车的辆数分别为x,y,则*49100,5,y6,,N.xyxxy[例1]某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,请写出满足上述所有不等关系的不等式.方法技巧用不等式(组)表示不等关系的方法(1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系;(2)找出体现不等关系的关键词:至少、至多、不少于、不多于、超过、不超过等,用代数式表示相应各量,并用不等号连接,特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“=”能否取到.(3)注意变量的实际意义,如体积、面积、长度、重量等均为非负实数.即时训练1-1:一辆汽车原来每天行驶xkm,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km,那么在8天内它的行程将超过2200km,用不等式表示为.解析:因为该汽车每天行驶的路程比原来多19km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则在8天内它的行程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2200km”可以用不等式8(x+19)2200来表示.答案:8(x+19)2200[备用例1](1)(2019·临沂高二检测)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.工厂现有A种矿石300t、B种矿石200t、煤360t,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).解:(1)设工厂可以生产甲、乙两种产品分别为xt,yt.由题意知,有如下不等关系:①消耗A种矿石总量不超过300t;②消耗B种矿石总量不超过200t;③煤的消耗总量不超过360t;④甲、乙两种产品数量均为非负数,所以列不等式组为104300,54200,49360,0,0.xyxyxyxy解:(2)①设糖水有b克,含糖a克,浓度为ab,添入m克糖后的浓度为ambm,则提炼出的不等式为若ba0,m0,则abambm.(2)糖水是日常生活中很普通的东西,下列关于糖水浓度的问题,同学们能分别提炼出怎样的不等式?①如果向一杯糖水里添上点儿糖,“糖水加糖变甜了”;解:②设淡糖水有b1克,含糖a1克,浓度为11ab,浓糖水有b2克,含糖a2克,浓度为22ab,则混合后的浓度为1212aabb,所提炼出的不等式为若b1a10,b2a20,且11ab22ab,则11ab1212aabb22ab.②把原来的糖水与加糖后的糖水合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.题型二数式的大小比较[例2](1)已知x1,比较x3-1与2x2-2x的大小.解:(1)x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)[(x-12)2+34].因为x1,所以x-10,又(x-12)2+340,所以(x-1)[(x-12)2+34]0,所以x3-12x2-2x.解:(2)因为a0,b0,所以aabb0,abba0,所以abbaabab=aa-b·bb-a=(ab)a-b.当ab0时,ab1,a-b0,则(ab)a-b1,所以aabbabba;当a=b时,ab=1,a-b=0,则(ab)a-b=1,所以aabb=abba;当ba0时,0ab1,a-b0,则(ab)a-b1,所以aabbabba.综上所述,当a0,b0时,aabb≥abba,当且仅当a=b时,等号成立.(2)(2019·枣庄高二检测)设a0,b0,试比较aabb与abba的大小.方法技巧(1)作差法比较两个数大小的步骤及变形方法①作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论.②变形的方法:因式分解;配方;通分;对数与指数的运算性质;分母或分子有理化;分类讨论.(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较,作商后可变形为能与1比较大小的式子.即时训练2-1:已知x1,比较x3+6x与x2+6的大小.解:(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6=x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6).因为x1,所以(x-1)(x2+6)0,所以x3+6xx2+6.解:法一(直接作差)(ab+ba)-(a+b)=(ab-b)+(ba-a)=abb+baa=2ababab.因为a0,b0,所以a+b0,(a-b)2≥0,ab0,所以2ababab≥0,所以ab+ba≥a+b.[备用例2]已知a,b为正实数,试比较ab+ba与a+b的大小.法二(平方后作差)(ab+ba)2=2ab+2ba+2ab,(a+b)2=a+b+2ab,所以(ab+ba)2-(a+b)2=2ababab,又a0,b0,所以2ababab≥0,而ab+ba0,a+b0,故ab+ba≥a+b.题型三不等式的性质及应用证明:(1)因为ab,c0,所以acbc,所以-ac-bc.因为fe,所以f-ace-bc.[例3](1)已知ab,ef,c0.求证:f-ace-bc;(2)若bc-ad≥0,bd0.求证:abb≤cdd.(2)因为bc-ad≥0,所以ad≤bc,又bd0,所以ab≤cd,所以ab+1≤cd+1,所以abb≤cdd.方法技巧用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明.要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数,一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的等.即时训练3-1:(2019·河南洛阳高二训练)(1)已知ab0,求证:baab;(2)已知ab,1a1b.求证:ab0.证明:(1)因为ab0,所以-a-b0,所以(-a)2(-b)2,ab0,所以2aab2bab,故abba,即baab.(2)因为1a1b,所以1a-1b0,即baab0,而ab,所以b-a0,所以ab0.[备用例3](1)(2019·安徽合肥检测)给出下列结论:①若ab,则ac2bc2;②若1a1b0,则ab;③若ab,cd,则a-cb-d;④若ab,cd,则acbd.其中正确的结论的序号是.②因为1a1b0,所以a0,b0,所以ab0,所以1a·ab1b·ab,即ab,②正确;(1)解析:①当c≠0时,由ab,可得ac2bc2,当c=0时,由ab,得不出ac2bc2,故①错误;③因为cd,所以-c-d,又ab,两个不等式的方向不同向,不能相加,所以a-cb-d错误;④当a=3,b=2,c=-3,d=-4时满足条件,但acbd不成立,故④错误.答案:②(2)证明:法一-ad-(-bc)=acbddc.因为cd0,所以-c-d0,因为ab0,所以-ac-bd0,即-ac-(-bd)0.又cd0,所以acbddc0,所以-ad-(-bc)0,即-ad-bc0,(2)(2019·太原高二检测)已知ab0,cd0,求证:3ad3bc.所以3ad3bc,即-3ad-3bc,所以3ad3bc.法二因为cd0,所以-c-d0,所以0-1c-1d.又ab0,所以-ad-bc0,所以3ad3bc,即-3ad-3bc,所以3ad3bc.题型四易错辨析——错用不等式的性质致误【例4】已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的取值范围.错解:因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以两式相加可得0≤a≤4,因为1≤a+b≤5,-3≤b-a≤1,所以两式相加可得-1≤b≤3,所以0≤3a≤12,-6≤-2b≤2,所以-6≤3a-2b≤14.纠错:由1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,得出0≤a≤4,-1≤b≤3.此时,将a,b的范围扩大了.例如,当a=0,b=-1时,尽管满足0≤a≤4,-1≤b≤3,但是并不满足1≤a+b≤5,也就是说“由1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,得出0≤a≤4,-1≤b≤3”的过程是一个不等价变形.用a+b和a-b将3a-2b表示出来,然后利用同向不等式的可加性求出3a-2b的范围即可.正解:设3a-2b=x(a+b)+y(a-b),则3a-2b=(x+y)a+(x-y)b,从而3,2,xyxy解得1,25,2xy所以3a-2b=12(a+b)+52(a-b),因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以12≤12(a+b)≤52,-52≤52(a-b)≤152,所以-2≤3a-2b≤10.学霸经验分享区(1)使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用.(2)用不等式(组)表示实际问题中,在寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系时,要注意隐含条件.课堂达标C1.设ba,dc,则下列不等式中一定成立的是()(A)a-cb-d(B)acbd(C)a+cb+d(D)a+db+c解析