2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第1课时 不等关系与不等式

3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式第三章不等式课前自主预习1.不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号或.(2)所表示的关系是□01，≤，，≥□02≠□03不等关系．2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是，那么ab；如果a－b是，那么a＝b；如果a－b是，那么ab，反之也成立．□04正数□05零□06负数(2)符号表示a－b0⇔ab；a－b＝0⇔ab；a－b0⇔ab.□07□08＝□09(3)结论确定任意两个实数a、b的大小关系，只需确定的大小关系．3．比较大小的方法(1)作差：比较数(式)的大小常用作差与比较．(2)作商：两数(式)为同号时，作商与比较．□10它们的差a－b与0□110□1211．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.()(2)某隧道入口竖立着“限高4.0米”的警示牌，则经过该隧道的物体的高度h应满足h4.0.()(3)若x20，则x0.()(4)若x1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2xx2＋2.()√×××2．做一做(1)(教材改编P74T1(2))一桥头竖立的“限重40t”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T不超过40t，用不等式表示为________．(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于3%，蛋白质的含量p应不少于2.5%，写成不等式组就是_____________．T≤40f≥3%，p≥2.5%(3)若x≠1，则M＝x2＋y2－2x＋2y的值与－2的大小关系为________．(4)x2＋3与2x的大小关系为_____________．M－2x2＋32x课堂互动探究探究1用不等式(组)表示不等关系例1某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解设该校拟建的初级机房有x台计算机、高级机房有y台计算机，则0.8＋0.35x－1＝1.15＋0.7y－1，20≤0.8＋0.35x－1≤21，20≤1.15＋0.7y－1≤21.解得x＝2y，5567≤x≤5857，271314≤y≤29514.∵x，y均为整数，∴x＝56，y＝28或x＝58，y＝29，即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56,28或58,29台计算机．拓展提升将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接，应特别注意能否取等号．(3)多个不等关系用不等式组表示．【跟踪训练1】已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系．解依题意得c＝11x＋9y＋4z，又x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y.由600x＋700y＋400z≥56000，800x＋400y＋500z≥63000及z＝100－x－y，得2x＋3y≥160，3x－y≥130.∴x，y所满足的不等关系为2x＋3y≥160，3x－y≥130，x≥0，y≥0.探究2作差法比较大小例2(1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小．(2)已知a0且a≠1，p＝loga(a3＋1)，q＝loga(a2＋1)，比较p与q的大小．解(1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4)＝(m－n)m3－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)，∵m≠n，∴(m－n)20.又∵m2＋mn＋n2＝m＋n22＋3n240，∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)0.∴x－y0，∴xy.(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaa3＋1a2＋1.当a1时，a3＋1a2＋1，∴a3＋1a2＋11，∴logaa3＋1a2＋10；当0a1时，a3＋1a2＋1，∴a3＋1a2＋11，∴logaa3＋1a2＋10.综上，p－q0，∴pq.拓展提升1.第(1)题通过分解因式和配方判断差的符号，第(2)题通过分类讨论判断差的符号．可以看到，用作差比较法时，判断所作差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．2．作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形：(1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘．(2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断．第二步：判断差值与零的大小关系．第三步：得出结论．【跟踪训练2】(1)比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；(2)设a∈R且a≠0，比较a与1a的大小．解(1)∵x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．(2)由a－1a＝a－1a＋1a，当a＝±1时，a＝1a；当－1＜a＜0或a＞1时，a＞1a；当a＜－1或0＜a＜1时，a＜1a.探究3作商法比较大小例3已知a0，b0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．解aabbabba＝aa－bbb－a＝aba－b，①当ab0时，ab1，a－b0，∴aba－b1；②当0ab时，0ab1，a－b0，∴aba－b1.综上可得aba－b1，∴aabbabba.拓展提升作商法比较大小应注意的问题作商法：即通过判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．解[规律小结]1.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．2.关于a≤b或a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者ab或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即，若ab或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者ab或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即，若ab或a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．3.作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判定所得差是大于0，小于0，还是等于0.(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．注意：变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．4.作商法比较两个实数大小的基本步骤(1)作商；(2)变形；(3)比较商与1的关系．注意：只有同号的两数才适用于作商法比较大小．[走出误区]易错点⊳用不等式组表示实际问题时理解错误[典例]两种药片有效成分见下表：若要求至少提供12mg阿司匹林、70mg小苏打、28mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[错解档案]设提供A药片x片，B药片y片，则由题意，得2x＋y≥12，5x＋7y≥70，x＋6y≥28.[误区警示]以上不等式对药品成分的限定额度是完全正确的，但是考虑到问题的实际应用性，还应保证两种药片的数量均为非负整数，这一隐含条件往往是容易被忽视的．[规范解答]设提供A药片x片，B药片y片(x、y∈N)，则由题意，得2x＋y≥12，5x＋7y≥70，x＋6y≥28，x≥0x∈N，y≥0y∈N.[名师点津]用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：(1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．(2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)．(3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).随堂达标自测1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关解析∵M－N＝x2＋x＋1＝x＋122＋340，∴MN.2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式(组)表示为()A．v≤120km/h或d≥10mB.v≤120km/h，d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10m解析依据题意直接将不等关系转化为不等式，即v≤120km/h，d≥10m，注意两个不等关系必须同时成立．3．用“、、≥、≤”符号填空(1)(2a＋1)(a－3)________(a－6)(2a＋7)＋45；(2)a2＋b2________2(a－b－1)．≥解析(1)因为(2a＋1)(a－3)－[(a－6)(2a＋7)＋45]＝－60，所以(2a＋1)(a－3)(a－6)(2a＋7)＋45.(2)因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)．4．当m2时，mm与2m的大小关系是________．mm2m解析由于mm0,2m0，故可采用作商法，∴mm2m＝m2m.∵m2，∴m21，∴m2m1.即mm2m.5．(1)当x1时，比较x3与x2－x＋1的大小；(2)已知：ab，1a1b，判定a，b的符号．解(1)x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，因为x1，所以(x－1)(x2＋1)0，所以x3x2－x＋1.(2)因为1a1b，所以1a－1b＝b－aab0，①因为ab，所以b－a0，②综合①②知ab0，又因为ab，所以a0b.