2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5

第三章不等式2．2一元二次不等式的应用1．解分式不等式的同解变形(1)f（x）g（x）0．(2)f（x）g（x）0．(3)f（x）g（x）≥0f(x)·g(x)0或f(x)＝0.(4)f（x）g（x）≤0f(x)g(x)0或f(x)＝0.f(x)g(x)0f(x)g(x)0f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0f(x)·g(x)≤0且g(x)≠02．高次不等式的解法——穿针引线法穿针引线法解高次不等式的一般步骤是(1)整理—原式化为标准型．把f(x)进行因式分解，并化简为下面形式：(x－x1)(x－x2)…(x－xn)0(或0)．(2)标根—在数轴上标根．将f(x)＝0的n个根x1，x2，…，xn按照大小顺序标在数轴上，这n个根中可能出现重根．(3)画线—画穿根线．从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线．遇奇次根穿过x轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”．(4)选解—写出解集．结合图像，在数轴上方的曲线对应的区间为的解集，在数轴下方的曲线对应的区间为___________的解集．至于f(x)≥0，f(x)≤0的解集再把交点坐标加上即可．f(x)0f(x)0判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)最高次数为n(n≥3)的不等式所对应的方程的根一定有n个不同的根．()(2)不等式（x－3）（x－2）（x－5）（x－3）（x－7）≥0等价于(x－3)2(x－2)(x－5)(x－7)≥0.()(3)不等式(x＋1)2(2－4x)(6＋2x)≤0与(x＋1)2(4x－2)(2x＋6)≥0同解．()××√不等式4x＋23x－1＞0的解集是()A.x|x＞13或x＜－12B.x|－12＜x＜13C.x|x＞13D.x|x＜－12解析：选A.4x＋23x－1＞0⇔(4x＋2)(3x－1)＞0⇔x＞13或x＜－12，此不等式的解集为x|x＞13或x＜－12.不等式x（x＋2）x－3＜0的解集为()A．{x|x＜－2或0＜x＜3}B．{x|－2＜x＜0或x＞3}C．{x|x＜－2或x＞0}D．{x|x＜0或x＞3}解析：选A.x（x＋2）x－3＜0⇔x(x＋2)(x－3)＜0.如图所示．则x(x＋2)(x－3)＜0的解集为{x|x＜－2或0＜x＜3}，即不等式x（x＋2）x－3＜0的解集为{x|x＜－2或0＜x＜3}．不等式x＋1x≤3的解集为________．解析：x＋1x≤3⇔x＋1x－3≤0⇔2x－1x≥0⇔x(2x－1)≥0且x≠0⇔x＜0或x≥12.答案：x|x＜0或x≥121．简单的分式不等式的解法2．一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔a＞0，Δ＜0，ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立⇔a＜0，Δ＜0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)(k＞f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k＞f(x)max)；k≤f(x)(k＜f(x))恒成立⇔k≤f(x)min(k＜f(x)min)．分式不等式的解法解下列不等式：(1)2x－13x＋1≥0；(2)2－xx＋3＞0.【解】(1)原不等式可化为（2x－1）（3x＋1）≥0，3x＋1≠0，解得x≤－13或x≥12，x≠－13，所以x＜－13或x≥12.所以原不等式的解集为x|x＜－13或x≥12.(2)原不等式可转化为(2－x)(x＋3)＞0，即(x－2)(x＋3)＜0.解得－3＜x＜2，所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜2}．若将本例(2)变为2－xx＋3＞1，则应如何解呢？解：法一：原不等式可化为x＋3＞0，2－x＞x＋3或x＋3＜0，2－x＜x＋3，解得x＞－3，x＜－12或x＜－3，x＞－12，所以－3＜x＜－12.所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－12}．法二：原不等式可化为（2－x）－（x＋3）x＋3＞0，化简得－2x－1x＋3＞0，即2x＋1x＋3＜0.所以(2x＋1)(x＋3)＜0.解得－3＜x＜－12.所以原不等式的解集为x|－3＜x＜－12.分式不等式的解法(1)任何一个分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号的一边化为0，再转化为乘积不等式来求解的，即将分式不等式等价转化为整式不等式(组)，进而用整式不等式(组)的解法使问题得到解决．(2)不能丢掉分母不为0的情况，即f（x）g（x）≥0⇔f（x）g（x）≥0，g（x）≠0⇔f(x)·g(x)0或f（x）＝0，g（x）≠0.1.(1)不等式x＋2x2＋x＋1＞1的解集为________．(2)若关于x的不等式ax－b0的解集为(1，＋∞)，求关于x的不等式ax＋bx－20的解集．解：(1)原不等式可化为x2－1x2＋x＋1＜0.因为x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0，所以x2－1＜0，解得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．(2)由于ax－b0的解集为(1，＋∞)．所以a0，且ba＝1，则a＝b.故不等式ax＋bx－20可化为ax＋ax－20，又因为a0，所以原式等价于x＋1x－20⇔(x＋1)(x－2)0.解得x2或x－1.故原不等式的解集为{x|x2或x－1}．不等式的恒成立问题设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1，3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围.【解】(1)要使mx2－mx－10恒成立，若m＝0，显然－10，满足题意；若m≠0，m0，Δ＝m2＋4m0⇒－4m0.所以－4m≤0.(2)要使f(x)－m＋5在x∈[1，3]上恒成立．就要使mx－122＋34m－60在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．当m0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－60，所以0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－60，得m6，所以m0.综上所述：m67.一元二次不等式恒成立问题的解题策略(1)相互转化策略：利用一元二次不等式恒成立，二次函数图像在x轴上方(下方)及一元二次方程无解三者间相互转化．(2)分类讨论意识：在解含有参数的问题时，要注意分类讨论思想的应用，如本例中的解析式中二次项系数含有参数m，故需考虑是否需要分类讨论.2.若函数f(x)＝lg(ax2＋2ax＋1)的定义域为R，求a的取值范围．解：因为f(x)的定义域为R，所以当x∈R时，ax2＋2ax＋10恒成立．令g(x)＝ax2＋2ax＋1.①当a＝0时，g(x)＝1，显然符合题意．②当a≠0时，则必须满足a0，Δ＝4a2－4a0，所以0a1.综合①②可知，a的取值范围为[0，1)．一元二次不等式的实际应用某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?【解】(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至kx－0.4＋a，电力部门的收益为y＝kx－0.4＋a(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．(2)依题意，有0.2ax－0.4＋a（x－0.3）≥[a（0.8－0.3）]（1＋20%）0.55≤x≤0.75，整理，得x2－1.1x＋0.3≥0，0.55≤x≤0.75解此不等式组，得0.60≤x≤0.75.所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.解不等式应用题的步骤3.某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为xm，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x0，所以0x≤100.即当花卉带的宽度在(0，100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半．规范解答不等式恒成立问题的解法(本题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax(x≠0)．(1)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意a∈[－1，1]，f(x)＞4恒成立，求实数x的取值范围．【解】(1)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，即x2＋2x＋ax＞0，x∈[1，＋∞)恒成立．即x2＋2x＋a＞0，x∈[1，＋∞)恒成立．即a＞－x2－2x，x∈[1，＋∞)恒成立．(4分)即a＞(－x2－2x)max，x∈[1，＋∞)．又因为－x2－2x＝－(x＋1)2＋1.当x＝1时，(－x2－2x)max＝－3，所以实数a的取值范围为a＞－3.(6分)(2)要使当a∈[－1，1]时，f(x)＞4恒成立．即x2＋2x＋ax＞4，a∈[－1，1]恒成立．即x＋2＋ax＞4，a∈[－1，1]恒成立．(8分)令g(a)＝ax＋x－2，则使g(a)＞0对a∈[－1，1]恒成立的条件是g（1）＞0，g（－1）＞0，即x2－2x＋1x＞0，x2－2x－1x＞0，(10分)解得x＞2＋1.故所求x的取值范围是(2＋1，＋∞)．(12分)处是求a的取值范围的关键转化点．处构造关于a的一次函数g(a)，视x为“已知数”将g(a)＞0在a∈[－1，1]上恒成立转化为不等式组即g（1）＞0g（－1）＞0.另外，在求不等式组的解集时一定要按正确步骤求解．1．关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不等的实根，则实数m的取值范围是()A．(－14，＋∞)B．(－∞，－14)C．[－14，＋∞)D．(－14，0)∪(0，＋∞)解析：选D.m应满足m≠0，Δ0⇒（2m＋1）2－4m20，所以m－14且m≠0，故选D.2．已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax－bx－2＞0的解集是()A．{x|x＜－1或x＞2}B．{x|－1＜x＜2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＞2}解析：选A.依题意，a＞0且－ba＝1.ax－bx－2＞0⇔(ax－b)(x－2)＞0⇔x－ba(x－2)＞0，即(x＋1)(x－2)＞0⇒x＞2或x＜－1.3．解不等式axx＋10.解：axx＋10，即ax(x＋1)0.当a0时，ax(x＋1)0，所以x(x＋1)0，解得{x|－1x0}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a0时，ax(x＋1)0，所以x(x＋1)0，解得{x|x0或x－1}．综上，当a0时，原不等式的解集为{x|－1x0}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a0时，原不等式的解集为{x|x0或x－1}．