2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法课件 北师大版必修5

第三章不等式§2一元二次不等式2．1一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式形如或(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解一般地，使某个一元二次不等式成立的叫这个一元二次不等式的解．ax2＋bx＋c0(0)ax2＋bx＋c0(0)x的值(3)一元二次不等式的解集一元二次不等式的组成的集合，叫作一元二次不等式的解集．所有解2．一元二次不等式与相应函数、方程的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ0Δ＝0Δ0方程f(x)＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2且x1＝x2＝－b2a无实数根函数y＝f(x)的图像设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式Δ＝b2－4ac不等式的解集f(x)＞0f(x)＜0___________{x|xx2或xx1}{x|x1xx2}{x|x≠－b2a}R∅∅判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x0是一元二次不等式．()(2)若a0，则一元二次不等式ax2＋10无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}．()(4)不等式x2－2x＋30的解集为R.()×××√下列不等式中是一元二次不等式的是()A．a2x2＋2≥0B．1x23C．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋10答案：C若不等式ax2＋8ax＋210的解集是{x|－7x－1}，那么实数a的值是()A．1B．2C．3D．4答案：C不等式－6x2－x＋2≥0的解集是________．解析：原不等式等价于6x2＋x－2≤0，6x2＋x－2＝0的两根为x1＝－23，x2＝12，所以6x2＋x－2≤0的解集为{x|－23≤x≤12}．答案：{x|－23≤x≤12}1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c(≥)0(a0)，或ax2＋bx＋c(≤)0(a0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得xn或xm；若(x－m)(x－n)0，则可得mxn.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．解含参数的一元二次型的不等式易误点(1)若二次项系数含参数，易忽视二次项系数为0的情况．(2)对参数进行分类讨论，易出现重复、遗漏现象．(3)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ0)．解不含参数的一元二次不等式解下列不等式：(1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2－4x＋1＞0；(4)－x2＋6x－10＞0.【解】(1)Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝12，作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图所示，用阴影部分描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为x－3＜x＜12.(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝3－33，x2＝3＋33，作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图所示，由图可得原不等式的解集为xx≤3－33或x≥3＋33.(3)因为Δ＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝12.作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图所示．由图可得原不等式的解集为xx≠12，x∈R.(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，所以原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．(2)计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．1.(1)不等式(x＋1)(2－x)≤0的解集为()A．[－2，1]B．[－1，2]C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)(2)解不等式：－2x2－3x≤10.解：(1)选C.由(x＋1)(2－x)≤0，得(x＋1)(x－2)≥0，方程(x＋1)(x－2)＝0的解为x1＝－1，x2＝2，函数y＝(x＋1)(x－2)的图像是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(－1，0)和(2，0)．观察图像可得，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥2}．故选C.(2)原不等式等价于不等式组x2－3x－2①，x2－3x≤10②，不等式①可化为x2－3x＋20，解得x2或x1.不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5]．解含参数的一元二次不等式解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.【解】原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0.(1)当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}．(2)当a＜0时，不等式的解集为x|x＜1a或x＞1.(3)当a＞0时，上面不等式可化为x－1a(x－1)＜0.①当0＜a＜1时，不等式的解集为x|1＜x＜1a；②当a＝1时，解集为∅；③当a＞1时，不等式的解集为x|1a＜x＜1.若把本例中的条件“ax2－(a＋1)x＋1＜0”换成“x2－(a＋1)x＋a＜0”，试求不等式的解集．解：原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0.(1)当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．(2)当a＝1时，解集为∅.(3)当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}．解含参数的一元二次不等式的一般步骤[注意]对解含参数的一元二次不等式，要注意分类讨论思想的应用．2.解关于x的不等式2x2＋ax＋20.解：对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．①当a4或a－4时，Δ0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝14－a－a2－16，x2＝14(－a＋a2－16)．所以原不等式的解集为xx14（－a－a2－16）或x14（－a＋a2－16）.②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，所以原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，所以原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4a4时，Δ0，方程无实根，所以原不等式的解集为R.三个“二次”间对应关系的应用若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为xx13或x12，求关于x的不等式cx2－bx＋a0的解集．【解】由题意知a0，13＋12＝－ba，13×12＝ca，所以a0，b＝－56a0，c＝16a0，代入不等式cx2－bx＋a0中得16ax2＋56ax＋a0(a0)．即16x2＋56x＋10，化简得x2＋5x＋60，所以所求不等式的解集为{x|－3x－2}．若本例变为：已知不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}，求关于x的不等式cx2－bx＋a0的解集．解：由题意知2＋3＝－ba，2×3＝ca，a0，即b＝－5a，c＝6a，a0.代入不等式cx2－bx＋a0，得6ax2＋5ax＋a0(a0)．即6x2＋5x＋10，解得－12x－13，所以所求不等式的解集为x－12x－13.三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图像及性质来解决问题，关系如下：3.(1)若关于x的不等式ax2－6x＋a20的非空解集为{x|1xm}，则m＝________．(2)如果ax2＋bx＋c0的解集为{x|x－2或x4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f(－1)，f(2)，f(5)的大小关系是________．解析：(1)因为ax2－6x＋a20的解集为(1，m)．所以a0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．则1＋m＝6a，m＝a，即1＋m＝6m.所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，当m＝－3时，a＝m0(舍去)，故m＝2.(2)由ax2＋bx＋c0的解集为{x|x－2或x4}知a0，且－2，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，所以－2＋4＝－ba，－2×4＝ca，可得b＝－2a，c＝－8a，所以f(x)＝ax2－2ax－8a＝a(x＋2)(x－4)．因为a0，所以f(x)的图像开口向上．又对称轴方程为x＝1，f(x)的大致图像如图所示，由图可得f(2)f(－1)f(5)．答案：(1)2(2)f(2)f(－1)f(5)易错警示因忽略二次项系数为零而出错若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0的解集为R，求实数a的取值范围．【解】当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4＜0，所以a＝2时成立．当a－2≠0时，由题意得a－2＜0，Δ＜0.即a＜2，4（a－2）2－4（a－2）（－4）＜0.解得－2＜a＜2.综上所述可知实数a的取值范围是－2＜a≤2.本题易漏掉a－2＝0的情形，导致错误的取值范围．二次项系数含参数时，要严格分系数为正，系数为0，系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，只要题目没有明确说明不等式是一元二次不等式，就必须讨论这种情况．1．不等式组x2－1＜0，3x－x2＞0的解集是()A．(－1，1)B．(0，3)C．(0，1)D．(－1，3)解析：选C.x2－1＜0，3x－x2＞0⇒x2－1＜0，x2－3x＜0⇒－1＜x＜1，0＜x＜3⇒0＜x＜1.2．函数y＝17－6x－x2的定义域为()A．[－7，1]B．(－7，1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：选B.由7－6x－x20，得x2＋6x－70，即(x＋7)(x－1)0，所以－7x1，故选B.3．设m＋n0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)0的解集是________．解析：不等式(m－x)(n＋x)0可化为(x－m)·(x＋n)0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为x1＝m，x2＝－n.由m＋n0，得m－n，则不等式(x－m)(x＋n)0的解集是{x|－nxm}．答案：{x|－nxm}4．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2＋bx－10.解：(1)因为方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得－12＋2＝－ba，－12×2＝2a，解得a＝－2，b＝3.(2)由(1)知，ax2＋bx－10变为－2x2＋3x－10，即2x2－3x＋10，解得12x1.所以不等式ax2＋bx－10的解集为x12x1.