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第三章不等式§1不等关系1．1不等关系1．2不等关系与不等式1．不等式的有关概念(1)用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式，形成不等关系的式子叫作不等式．(2)常见的文字语言与数学符号之间的转化如下表文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系a－b0⇔ab；a－b＝0⇔ab；a－b0⇔ab.＝3．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔ba.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒ac.(3)可加性：a＞b⇔a＋cb＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒acbc；a＞b，c＜0⇒acbc.＜＞＞＞＜(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋cb＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒acbd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒anbn(n∈N＋)．(8)开方法则：a＞b＞0⇒nanb(n∈N＋)．＞＞＞＞判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.()(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(3)若ab或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(4)若ab，则acbc一定成立．()(5)若a＋cb＋d，则ab，cd.()×√√××某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是()A．x＋y120B．x＋y120C．x＋y≥120D．x＋y≤120答案：C设a，b＞0，P＝a＋b，Q＝a＋b，则P与Q的大小关系是()A．P≥QB．P≤QC．P＞QD．P＜Q解析：选C.P2＝(a＋b)2＝a＋b＋2ab，Q2＝(a＋b)2＝a＋b.因为a，b＞0，所以P2＞Q2.所以P＞Q.已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为________．解析：因为a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，所以b2＝a2＋c2＋2ac.所以b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.因为a＞c，所以(a－c)2＞0.所以b2－4ac＞0，即b2－4ac的符号为正．答案：正1．对利用不等式的性质证明不等式的说明(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a－b0⇒ab；a－b＝0⇒a＝b；a－b0⇒ab.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．2．运用不等式的性质判断不等式是否成立时要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，更不要想当然地运用一些不存在的性质.用不等式(组)表示不等关系配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y所满足的不等关系．【解】根据题意可得3x＋5y≤20，5x＋4y≤25，x≥1，x∈N，y≥1，y∈N.(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意，找准不等关系所联系的量；②用适当的不等号连接；③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示．(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.1.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t28000.答案：4.5t28000.作差(商)法比较两数(式)的大小比较下列各式的大小：(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．【解】(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋10.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．(1)作差法的一般步骤①作差；②变形：常采用配方、因式分解等变形手段，将“差”化成积；③定号：就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0；④得出结论，其中“定号”是目的，“变形”是关键．(2)作商法的一般步骤比较两代数式的大小时，若两式均为积的形式且同号，可采用作商法比较，其步骤为作商→变形→判断(与1比较大小)．2.已知a＞b＞0，试比较aabb与abba的大小．解：因为aabbabba＝aa－b·bb－a＝aba－b，因为a＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞1，所以aba－b＞1，故aabb＞abba.不等式的基本性质(1)以下结论一定能推出ab的是()A．(a－b)a20B．a2b2C.1a1bD．acbc(2)若bc－ad≥0，bd0.求证：a＋bb≤c＋dd.【解】(1)选A.对于A项，显然a20，必有ab；对于B项，a2b2⇔|a||b|，当a，b均为负值时，有ab；对于C项，若a0，b0，有1a1b，但不能推出ab；对于D项，若c0，显然有ab.(2)证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，因为bd0，所以ab≤cd，所以ab＋1≤cd＋1，所以a＋bb≤c＋dd.(1)运用不等式的性质判断真假的技巧①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质；②解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3.(1)已知a＋b0，b0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．ab－b－aB．a－b－abC．a－bb－aD．ab－a－b(2)已知ab0，cd0，e0，求证：ea－ceb－d.解：(1)选C.法一：因为A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，所以可用特殊值法．令a＝2，b＝－1，则有2－(－1)－1－2，即a－bb－a.法二：因为a＋b0，b0，所以a－b0，－ab0，所以a－b0b－a，即a－bb－a.(2)证明：因为cd0.所以－c－d0，又因为ab0，所以a＋(－c)b＋(－d)0，即a－cb－d0，所以01a－c1b－d，又因为e0，所以ea－ceb－d.利用不等式的性质求代数式的取值范围已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a－b和ab的取值范围．【解】因为15＜b＜36，所以－36＜－b＜－15.因为12＜a＜60，所以12－36＜a－b＜60－15.所以－24＜a－b＜45.又136＜1b＜115，所以1236＜ab＜6015.所以13＜ab＜4.所以－24＜a－b＜45，13＜ab＜4.本例条件不变，试求3a－2b的取值范围．解：因为12＜a＜60，15＜b＜36，所以36＜3a＜180，－72＜－2b＜－30.所以－36＜3a－2b＜150.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4.(1)若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α＋|β|的取值范围是()A．(－3，5)B．(－3，7)C．(1，7)D．(1，5)(2)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．解析：(1)因为－4＜β＜2，所以0≤|β|＜4，又1＜α＜3，所以1＜α＋|β|＜7.故选C.(2)由4≤x2y≤9，得16≤x4y2≤81.又3≤xy2≤8，所以18≤1xy2≤13，所以2≤x3y4≤27.所以x3y4的最大值是27.答案：(1)C(2)27思想方法分类讨论思想在比较两代数式大小中的应用已知a，b0，试比较aabb与(ab)a＋b2的大小．【解】aabb（ab）a＋b2＝aa－a＋b2bb－a＋b2＝aa－b2bb－a2＝aba－b2.①若a＝b0，则ab＝1，a－b＝0，所以aba－b2＝1，所以aabb＝(ab)a＋b2；②若ab0，则ab1，a－b0，由指数函数的性质，可知aba－b21，所以aabb(ab)a＋b2；③若0ab，则0ab1，a－b0，由指数函数的性质，可知aba－b21，所以aabb(ab)a＋b2.综上所述，aabb≥(ab)a＋b2.比较两代数式的大小时不论是作差法还是作商法比较大小，在对变形后的式子进行判断时，由于式中含有字母取值不同会导致结果不同的应进行分类讨论，分类时应做到不重不漏．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x(单位：分)不低于95，文化课总分y(单位：分)高于380，体育成绩z(单位：分)超过45，用不等式组表示为()A.x≥95y≥380z45B．x≥95y380z≥45C.x95y380z45D．x≥95y380z45解析：选D.“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“”，所以x≥95，y380，z45.2．若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为()A．M－5B．M－5C．M＝－5D．不确定解析：选A.因为m≠2，n≠－1，所以M＝(m－2)2＋(n＋1)2－5－5.3．已知abc，则1a－b＋1b－c＋1c－a的值为__________(填“正数”“非正数”“非负数”)．解析：因为abc，所以a－b0，b－c0，a－cb－c0.所以1a－b0，1b－c0，1a－c1b－c，所以1a－b＋1b－c－1a－c0，所以1a－b＋1b－c＋1c－a为正数．答案：正数4．已知1a2，3b4，求下列各式的取值范围．(1)2a＋b；(2)a－b；(3)ab.解：(1)因为1a2，所以22a4.又3b4，所以52a＋b8.(2)因为3b4，所以－4－b－3.又1a2，所以－3a－b－1.(3)因为3b4，所以141b13.又1a2，所以14ab23.