搜索
专题一导数的运算问题求一个函数的导数的基本方法有三种：一是利用定义，二是利用基本初等函数的导数公式，三是把函数分解成为基本初等函数的和、差、积、商的运算，再利用导数的运算法则进行计算，其中以第三种较为常见．在第三种运算中，对不具备求导法则所要求的结构形式的函数要进行适当的变形，比如：(1)函数中有两个以上因式乘积的形式，可利用多项式的乘法展开后再求导．(2)利用代数恒等变形，避开商的求导，简化运算．(3)利用三角恒等变形简化求导过程等等．求下列函数的导数：(1)y＝(3x2＋1)(2－x)；(2)y＝(1＋x2)·cosx；(3)y＝x－ax＋a；(4)y＝lnxx－2x；(5)y＝1＋sinx1－cosx；(6)y＝sinx·cosx.[解析](1)∵y＝－3x3＋6x2－x＋2，∴y′＝－9x2＋12x－1.(2)∵y＝(1＋x2)·cosx，∴y′＝2xcosx＋(1＋x2)(－sinx)＝2xcosx－sinx－x2sinx.(3)∵y＝x－ax＋a，∴y′＝x－a′x＋a－x＋a′x－ax＋a2＝2ax＋a2.(4)∵y＝lnxx－2x，∴y′＝lnx′x－x′·lnxx2－2x·ln2＝1－lnxx2－2xln2.(5)∵y＝1＋sinx1－cosx，y′＝1＋sinx′1－cosx－1－cosx′1＋sinx1－cosx2＝cosx1－cosx－sinx1＋sinx1－cosx2＝cosx－sinx－11－cosx2.(6)∵y＝sinx·cosx，∴y′＝(sinx)′·cosx＋sinx·(cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x＝cos2x.专题二利用导数几何意义解决解析几何中的问题利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．如图，y＝f(x)是可导函数，若直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝__________.[解析]∵直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，∴f(3)＝1.∵点(3,1)在直线l上，∴3k＋2＝1，从而k＝－13，∴f′(3)＝k＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×－13＝0.[答案]0已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解析](1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)解法一设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．解法二设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－14x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.