2019-2020学年高中数学 第三章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则课件 北师大版选修1-1

一、导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的________，即[f(x)＋g(x)]′＝______________，[f(x)－g(x)]′＝______________.二、导数的乘法与除法法则若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)·g(x)]′＝______________________，[fxgx]′＝_____________________(g(x)≠0)．特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝___________.和(差)f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′xg2xkf′(x)[想一想]1．导数的和(差)公式对三个或三个以上函数导数的运算还成立吗？提示：两个函数和(差)的求导法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．2．导数运算法则成立的条件是什么？提示：要求两个函数必须都可导且商式中要求分母不为零．[练一练]3．函数f(x)＝x(x2＋1)的导数为()A．x2＋1B．3x2C．3x2＋1D．3x2＋x解析：∵f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.答案：C4．设f(x)＝x2ex，则f′(x)＝()A．x2ex＋2xB．2xexC．(2x＋x2)exD．(x＋x2)ex解析：f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋(ex)′x2＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.答案：C探究一直接利用法则求导数[典例1]求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝xtanx；(3)y＝x42＋logax.[解析](1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.(2)y′＝(x·tanx)′＝x·(tanx)′＋x′·tanx＝xcos2x＋tanx.(3)y′＝4x32＋logax－x4xlna2＋logax2＝8x3＋4x3logax－x3lna2＋logax2＝x38＋4logax－1lna2＋logax2.理解和掌握求导法则和公式的结构特征是灵活进行求导运算的前提条件，若运算过程中出现失误，其原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．另外，在求导过程中对符号判断不清，也是导致出错的原因之一．1．求下列函数的导数：(1)y＝15x5－43x3＋3x＋2；(2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；(3)y＝33x4＋4x3.解析：(1)y′＝(15x5－43x3＋3x＋2)′＝(15x5)′－(43x3)′＋(3x)′＋(2)′＝x4－4x2＋3.(3)y′＝(33x4＋4x3)′＝(3)′＋(4)′＝3×43＋4×32＝4＋6＝43x＋6x.2．(1)已知f(x)＝lnxx，则f′(x)＝()A.1x2B.1x－1C．1－lnxD.1－lnxx2解析：f′(x)＝lnx′·x－lnx·x′x2＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2，所以选D.答案：D(2)已知函数f(x)＝sinxcosxx＋100，求f′(π)．解析：f′(x)＝sinxcosx′x＋100－x＋100′sinxcosxx＋1002＝cos2x－sin2xx＋100－sinxcosxx＋1002＝xcos2x＋100cos2x－12sin2xx＋1002，所以f′(π)＝πcos2π＋100cos2π－12sin2ππ＋1002＝π＋100π＋1002＝1π＋100.探究二先变形再求导[典例2]求下列函数的导数：(1)y＝x5＋x7＋x9x；(2)y＝x－sinx2cosx2；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x；(4)y＝cos2xsinx＋cosx.[解析](1)∵y＝x5＋x7＋x9x＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3.(2)先使用三角公式进行化简，得y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝(x－12sinx)′＝(x)′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)y＝1＋x21－x＋1－x21－x＝21＋x1－x＝41－x－2，∴y′＝(41－x－2)′＝4′1－x－41－x′1－x2＝41－x2.(4)∵f(x)＝cos2xsinx＋cosx＝cos2x－sin2xsinx＋cosx＝cosx－sinx，∴f′(x)＝－sinx－cosx.较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数式化简；(2)注意公式法则的层次性．3．求下列函数的导数．(1)y＝(x2＋1)2；(2)y＝ex＋1ex－1.解析：(1)y＝(x2＋1)2＝x4＋2x2＋1，所以y′＝4x3＋4x.(2)解法一ex＋1ex－1＝1＋2ex－1，所以y′＝1′＋2ex－1′＝2′ex－1－2ex－1′ex－12＝－2exex－12.解法二y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.4．求下列函数的导数：(1)y＝11－x＋11＋x；(2)y＝sin4x4＋cos4x4.解析：(1)y＝21－x，∴y′＝(21－x)′＝21－x2.(2)∵y＝(sin2x4＋cos2x4)2－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝34＋14cosx，∴y′＝－14sinx.探究三导数运算法则的灵活应用导数运算法则的灵活应用——正用运算法则—逆用运算法则—活用运算法则—综合应用5．求下列函数的导数：(1)y＝ex＋log3x；(2)y＝xm＋nxx(n≠0)．解析：(1)y′＝(ex＋log3x)′＝ex＋1xln3.(2)∵y＝xm－1＋，∴y′＝(xm－1＋)′＝(m－1)xm－2＋1－nn·.6．已知f′(x)是一次函数，且对于任意x∈R，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．解析：由f′(x)为一次函数，可知f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使对任意x∈R方程都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．解析：∵y＝ax2＋bx＋c，∴y′＝2ax＋b，∵在点(2，－1)处的切线为y＝x－3，∴4a＋b＝1.①又抛物线过点(1,1)和点(2，－1)，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1，③解由①②③组成的方程组可得a＝3，b＝－11，c＝9.8．已知函数f(x)＝k(x－1)ex＋x2.(1)求导函数f′(x)；(2)当k＝－1e时，求函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线方程．解析：(1)f′(x)＝kex＋k(x－1)ex＋2x＝kxex＋2x.(2)∵k＝－1e，∴所求切线的斜率为f′(1)＝－1e×e＋2＝1，∴函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线方程为x－y＝0.求两曲线的公切线的方法[典例]已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．[解析]设l与C1相切于点P(x1，x21)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x21＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x21.①对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x22－4.②因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)且－x21＝x22－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.[感悟提高]公切线问题分两类：第一类是有公共切点，利用公切点的性质列方程组求解；第二类是无公共切点，常分别设两曲线的切点，求出切点处的两条切线使之重合，借助重合条件得出切点坐标，再求公切线方程．