2019-2020学年高中数学 第三章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修1-1

一、平均变化率定义对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)．它的平均变化率为___________实质函数的平均变化率可表示为函数值的改变量(Δy＝___________)与自变量的改变量(Δx＝________)的比值作用刻画函数值在___________上变化的快慢fx2－fx1x2－x1f(x2)－f(x1)x2－x1区间[x1，x2]二、瞬时变化率定义对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则当_________时，平均变化率ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0＝______________趋于函数在x0点的瞬时变化率实质平均变化率为当____________________________的值作用刻画函数值在________处变化的快慢Δx趋于0fx0＋Δx－fx0Δx自变量的改变量趋于0时x0点[疑难提示]对平均变化率的正确理解(1)Δx的意义：Δx是相对于x1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x1＋Δx代替x2.(2)ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0，式子中Δx，Δy的值都可正可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0，当f(x)为常数函数时，Δy＝0.(3)一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率的问题可以转化为函数的变化率．(4)为求点x0附近的平均变化率，上述表达形式常写为fx0＋Δx－fx0Δx的形式．[想一想]1．“瞬时变化率”刻画了函数的什么特征？提示：它刻画了函数在一点处变化的快慢．[练一练]2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：根据定义，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．答案：D3．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx________0.(填“”“”或“≠”)答案：≠探究一求平均变化率[典例1]已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；(3)求当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．[解析](1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴ΔyΔx＝2Δx2x0＋ΔxΔx＝4x0＋2Δx.(2)由(1)可知：ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，ΔyΔx＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)由(1)可知ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝12时，ΔyΔx＝4×1＋2×12＝5.1．求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)由定义求出ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.2．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率fx1－fx0x1－x0表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”；(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为fx0＋Δx－fx0Δx的形式；(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．1．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴ΔyΔx＝－8－2Δx.即平均变化率为－8－2Δx.2．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；(3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义．解析：(1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x21－3x1＋5＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx.当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均变化率ΔyΔx＝211＝21.(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均变化率ΔyΔx＝1.920.1＝19.2.(3)在(1)中，ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝f5－f45－4，它表示曲线上点P0(4,39)与P1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝f4.1－f44.1－4，它表示曲线上点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．探究二求瞬时变化率[典例2]在赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)．求：(1)t＝20，Δt＝0.1时，Δs与ΔsΔt的值；(2)求t＝20时的瞬时速度．[解析](1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05(m)．ΔsΔt＝21.050.1＝210.5(m/s)．(2)ΔsΔt＝10×20＋Δt＋5×20＋Δt2－10×20－5×202Δt＝5Δt＋210.当Δt趋于0时，5Δt＋210→210(m/s)，因此，t＝20时的瞬时速度为210m/s.1．求瞬时变化率时首先要明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率．2．瞬时速度是平均速度在时间改变量趋向于零时，平均变化率逼近的值．3．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬间速度是()A．1米/秒B．－1米/秒C．2米/秒D．－2米/秒解析：由ΔsΔt＝[1－3＋Δt]－1－3Δt＝－ΔtΔt＝－1，得物体在3秒末的瞬间速度是－1米/秒．答案：B4．已知s(t)＝5t2，(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t＝3秒时的瞬时速度．解析：(1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)＝3.05，∴ΔsΔt＝3.050.1＝30.5(m/s)．(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)＝0.3005，∴ΔsΔt＝0.30050.01＝30.05(m/s)．(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt0)∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)，∴ΔsΔt＝5Δt6＋ΔtΔt＝30＋5Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→30.∴在t＝3时的瞬时速度为30m/s.探究三变化率的应用变化率的应用——平均变化率的几何意义—平均变化率的应用—瞬时变化率的应用5．过曲线f(x)＝x2＋1上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，求割线的斜率．解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－(1＋1)＝2Δx＋(Δx)2，所以ΔyΔx＝2Δx＋Δx2Δx＝2＋Δx.当Δx＝0.1时，2＋Δx＝2.1，所以直线PQ的斜率为2.1.6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但W1t0－W1t0－ΔtΔtW2t0－W2t0－ΔtΔt，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．7．已知气球的体积V(L)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3.(1)写出r关于V的函数r(V)；(2)当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为多少？当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率又是多少？(3)随着气球体积的增大，它的平均膨胀率变大还是变小了？解析：(1)∵V＝43πr3，∴r3＝3V4π，∴r＝33V4π(V0)．(2)由已知可得，气球的平均膨胀率为：rV2－rV1V2－V1.∴由0L到1L的膨胀率为r1－r01－0＝334π≈0.62(dm/L)．由1L到2L的膨胀率为：r2－r12－1＝364π－334π≈0.16(dm/L)．(3)由(2)可知，随着气球体积的增大，它的半径增加得越来越慢，因此它的平均膨胀率逐渐减小．无限逼近(极限)思想的应用[典例]求函数f(x)＝1x在x＝1时的瞬时变化率．[解析]因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝1－1＋Δx1＋1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋1＋Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝－11＋1＋Δx1＋Δx.当Δx趋于零时，ΔyΔx无限趋近于常数－12，故函数f(x)＝1x在x＝1时的瞬时变化率为－12.[感悟提高]定义法求函数瞬时变化率的步骤：第一步：计算Δy；第二步：计算ΔyΔx；第三步：求Δx趋于零时，ΔyΔx的值．