2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()A．(8,8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)答案C解析设P(xP，yP)，因为点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，所以xP＝8，yP＝±8.故选C.答案解析32．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－12答案C解析因为点A在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，所以kAF＝3－0－2－2＝－34.答案解析43．抛物线y2＝mx的焦点为F，点P(2,22)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为()A．1B.32C．2D.52答案D解析∵点P(2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m，∴m＝4.又P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝3＋22＝52.答案解析54．已知F是抛物线y＝116x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是()A．x2＝8y－16B．x2＝2y－116C．x2＝y－12D．x2＝2y－2答案A解析抛物线方程可化为x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线方程，得(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16.故选A.答案解析65.下图，南北方向的公路L，A地在公路正东2km处，B地在A北偏东60°方向23km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等，现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是()7A．(2＋3)a万元B．(23＋1)a万元C．5a万元D．6a万元答案C解析依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向23km处，∴B到点A的水平距离为3km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元．故选C.答案解析86．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.522B.522＋1C.522－2D.522－1答案D答案9解析设抛物线的焦点为F，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，则d1＋d2＝|PA|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当P，F，B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取得最小值，最小值为522－1.解析10二、填空题7．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．答案2解析∵y2＝2px的准线方程为x＝－p2，由题意得，p2＋3＝4，∴p＝2.答案解析118．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0＝________.答案1＋2解析∵点B与点A(－1,0)关于原点O对称，∴B(1,0)，根据题意，得y20x20－1＝2，又y20＝4x0，∴2x0＝x20－1，即x20－2x0－1＝0，解得x0＝2±82＝1±2，舍去负值，得x0＝1＋2.答案解析129．抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为________．答案y2＝23x答案13解析因为抛物线的焦点为Fp2，0，所以直线AB的方程为y＝33x－p2，代入y2＝2px(p0)，整理得，x2－7px＋p24＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数之间的关系得，x1＋x2＝7p，x1x2＝p24，y1－y2＝33(x1－x2)，又四边形AA′B′B是梯形，其面积为48，所以12(x1＋x2＋p)|y1－y2|＝48，即12(x1＋x2＋p)·33x1－x2＝36(x1＋x2＋p)·x1＋x22－4x1x2＝48，解得p2＝3，p＝3或p＝－3(舍去)，故抛物线的方程为y2＝23x.解析14三、解答题10．已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线的标准方程和准线方程．解设所求的抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则焦点为F0，－p2.∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，∴m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26.∴m＝±26，抛物线的方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.答案15B级：能力提升练1．已知圆C的方程x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．16解设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，∴|PC|＝R＋5.∴|PC|＝|x|＋5.当点P在y轴右侧，即x0时，|PC|＝x＋5，故点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x0)；当点P在y轴左侧，即x0时，|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x0)．故点P的轨迹方程为y2＝20x(x0)或y＝0(x0)．答案172．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．18解设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，则其准线为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，即x1＋x2＝8－p.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，即6－x12＋－y12＝6－x22＋－y22.答案19又y21＝2px1，y22＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线的方程为y2＝8x.答案本课结束