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2．3.2双曲线的简单几何性质课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．双曲线的简单几何性质课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．等轴双曲线(1)的双曲线叫做等轴双曲线．(2)等轴双曲线具有以下性质：①方程形式为；②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；③实轴长和虚轴长都等于，离心率e＝.□14实轴和虚轴等长□15x2－y2＝λ(λ≠0)□16y＝±x□172a□182课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为2.()(2)方程y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.()(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．()答案(1)√(2)×(3)√答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)(教材改编P61练习T1)双曲线x24－y2＝1的实轴长为()A．4B．2C.3D．1(2)双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.(3)双曲线x2－16y2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________．(4)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为________．答案(1)A(2)y＝±3x2(3)114(4)x22－y22＝1答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1双曲线的简单几何性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，得a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程y＝±bax＝±23x.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练作草图：答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线．依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】(1)已知0θπ4，则双曲线C1：x2cos2θ－y2sin2θ＝1与C2：y2sin2θ－x2sin2θtan2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析因为0θπ4，所以sinθ0，cosθ0，所以双曲线C1的实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率e1＝1cosθ，双曲线C2的实轴长为2sinθ，虚轴长为2sinθtanθ＝2sin2θcosθ，焦距2sin2θ＋sin2θtan2θ＝2sinθcosθ，离心率e2＝1cosθ，所以两个双曲线的离心率相等．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆y25＋x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．y＝±13xD．y＝±3x答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析椭圆y25＋x2＝1的焦点坐标为(0，±2)，双曲线my2－x2＝1(x∈R)的焦点坐标为0，±1m＋1，由题意得1m＋1＝2，所以m＝13，所以双曲线my2－x2＝1即y23－x2＝1的渐近线方程为y3±x＝0即y＝±3x.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2双曲线的离心率问题例2(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2)B.1，233C．[2，＋∞)D.233，＋∞课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)我们把离心率e＝5＋12的双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)称为黄金双曲线．如图是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0，c＝a2＋b2)的图象，给出以下几个说法：课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练①若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；②若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)且∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；③若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解析](1)由题意知，过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足batan30°，即b33a.∴3b2a2，∴3(c2－a2)a2，c243a2，∴e243，∴－233e233.又e1，∴1e233.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)①正确．由b2＝ac，c2＝a2＋b2得c2－ac－a2＝0，所以e2－e－1＝0，解得e＝5＋12或e＝1－52(舍去)，该双曲线是黄金双曲线．②正确.F1B1→＝(c，b)，A2B1→＝(－a，b)．因为∠F1B1A2＝90°，所以F1B1→·A2B1→＝0.所以－ac＋b2＝0，即b2＝ac，由①可知该双曲线是黄金双曲线．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案](1)B(2)①②③③正确．由x＝c，x2a2－y2b2＝1解得M，N的坐标分别为c，－b2a，c，b2a，所以OM→＝c，－b2a，ON→＝c，b2a.因为∠MON＝90°，所以OM→·ON→＝c2－b4a2＝0，即b2＝ac，由①知该双曲线是黄金双曲线．答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]若把例2(1)的条件“30°”改为“60°”，“有两个”改为“有且只有一个”，其他条件不变，应如何解答？课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解由题可得直线的斜率为3，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，只要ba＝3，得e2＝1＋ba2＝4，则e＝2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升1.求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解，若已知a，b，可利用e＝1＋ba2求解．(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝ca，转化为关于e的n次方程求解．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．求双曲线离心率范围的思路求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和ca＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率为()A.12B.33C.32D.22答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析因为双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为52，所以e1＝c1a＝a2＋b2a＝52，化简得a＝2b，所以椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率为e2＝c2a＝a2－b2a＝4b2－b22b＝32.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()A．4＋23B.3＋1C.3－1D.3＋12答案B答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析设边MF1的中点为P，由题意知，MF1⊥PF2，在Rt△PF1F2中，|PF1|＝|F1F2|cos60°＝2c×12＝c，|PF2|＝|F1F2|sin60°＝2c×32＝3c，根据双曲线的意义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝3c－c，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3由双曲线的几何性质求标准方程例3求与双曲线x216－y29＝1共渐近线且过点A(23，－3)的双曲线的方程及其离心率．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]解法一：双曲线x216－y29＝1的渐近线方程为y＝±34x.(1)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为ba＝34，所以b＝34a①.因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以12a2－9b2＝1②.联立①②所得的方程组无解．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)设所求的双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．因为ab＝34，所以a＝34b③.因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以9a2－12b2＝1④，联立③④得a2＝94，b2＝4.所以所求双曲线方程为y294－x24＝1且离心率e＝53.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解法二：设与双曲线x216－y29＝1共渐近线的双曲线的方程为x216－y29＝λ(λ≠0)．因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝1216－99＝－14，所以所求双曲线方程为x216－y29＝－14，即y294－x24＝1.从而可求得离心率e＝53.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升巧设双曲线方程的六种常用方法(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λ≠0，－b2λa2)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P(3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x29＋y24＝1有公共焦点，且离心率e＝52.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝2，∴c2a2＝2，所以a2＝b2.①又双曲线过P(3，－5)，∴9a2－5b2＝1，②答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练由①②得a2＝b2＝4，故双曲线方程为x24－y24＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为y2a2－