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第一课时椭圆的简单几何性质【课标要求】1.理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长.2.掌握椭圆的离心率及a，b，c的几何意义.3.会应用椭圆的简单几何性质解题.|新知预习|椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形对称性对称轴，对称中心x轴和y轴(0,0)范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca(0e1)|自我尝试|1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴长等于a()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()答案：(1)×(2)√(3)√2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A.x29＋y24＝1B.y29＋x24＝1C.x29－y24＝1D.y29－x24＝1解析：由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.答案：A3．椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.22解析：由x216＋y28＝1可得a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8，∴e2＝c2a2＝12，∴e＝22.答案：D4．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案：D5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意知，2a＋2b＝18,2c＝6，∴a＋b＝9c＝3a2＝b2＋c2∴a2＝25b2＝16∵对称轴为坐标轴∴焦点在x轴上或在y轴上．答案：x225＋y216＝1或y225＋x216＝1课堂探究互动讲练类型一由标准方程研究几何性质[例1]求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．【解析】椭圆方程变形为x29＋y24＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25，焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝ca＝53.方法归纳求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.跟踪训练1已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解析：(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝35.(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝35.类型二利用几何性质求标准方程[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝ca＝45，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为x218＋y29＝1.方法归纳根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，应根据题意求出a，b的值，然后确定焦点所在的坐标轴，若焦点位置不确定需分类讨论.跟踪训练2已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分．求椭圆的标准方程．解析：设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意知2a＝18,2a＝6c，所以解得a＝9，c＝3，故b2＝a2－c2＝72，所以椭圆C的方程是x281＋y272＝1.类型三椭圆的离心率[例3](导学号：07264113)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，点M(a，b)满足MF2平分∠F1MA，那么椭圆的离心率为________．【解析】依题意，点F2(c,0)到直线F1M：bx－(a＋c)y＋bc＝0的距离等于|F2A|＝a－c，即|bc－0＋bc|b2＋a＋c2＝a－c，所以4b2c2＝(a－c)2[b2＋(a＋c)2]，因为b2＋c2＝a2，所以(a－c)2[b2＋(a＋c)2]＝2a(a－c)2(a＋c)＝2ab2(a－c)，所以2c2＝a(a－c)，两边同除以a2，得2e2＋e－1＝0，解得e＝12(舍去e＝－1)．【答案】12方法归纳求椭圆的离心率的思路一是先求a，c，再计算e；二是依据条件的信息，结合有关知识和a，b，c，e的关系，构造关于e的方程，再求解，求解时应注意离心率e的范围是(0,1).跟踪训练3一个圆的圆心为椭圆的右焦点F，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P，直线PF1(F1为椭圆的左焦点)是该圆的切线，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.3－1解析：依题意可知PF⊥PF1，且|PF|＝c，所以|PF1|＝|F1F|2－|PF|2＝3c，又|PF|＋|PF1|＝2a，所以c＋3c＝2a，所以ca＝23＋1＝3－1.答案：D|素养提升|1．椭圆的范围椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线x＝±a，y＝±b围成的矩形内，即－a≤x≤a，－b≤y≤b.椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及．2．椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)中a，b，c的几何意义在方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)中，a，b，c的几何意义如图所示，即a，b，c正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形．3．椭圆的离心率特别提醒：椭圆的焦点一定在长轴上．|巩固提升|1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1解析：由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又ca＝c3＝33，所以c＝1，所以b2＝2，所以C的方程为x23＋y22＝1.故选A.答案：A2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.12B.32C.34D.64解析：依题意，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝ca＝12，即椭圆的离心率e＝12，故选A.答案：A3．椭圆x225＋y29＝1的面积S________60.(用“”“”“＝”填空)解析：椭圆x225＋y29＝1位于直线x＝±5和y＝±3所围成的矩形区域内，而该矩形面积为(5＋5)×(3＋3)＝60.所以椭圆的面积S60.答案：