2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质课件 新人教

第二章圆锥曲线与方程2．2.2双曲线的简单几何性质第二章圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养双曲线的几何性质掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质，能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质直观想象、数学运算双曲线性质的应用掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法直观想象、数学运算问题导学预习教材P49～P53，并思考下列问题：1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点______________________________________F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质焦距__________范围________或____，y∈__________或____，x∈__对称性对称轴：________；对称中心：______顶点______________________________________|F1F2|＝2cx≤－ax≥aRy≤－ay≥aR坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质轴实轴：线段_____，长：___；虚轴：线段_____，长：___，实半轴长：__，虚半轴长：__离心率e＝ca∈__________渐近线____________________A1A22aB1B22bab(1，＋∞)y＝±baxy＝±abx2.等轴双曲线实轴和虚轴______的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是_________，离心率为e＝2.等长y＝±x■名师点拨对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．(3)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝2.()(3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．()(4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．()×√××双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是()A．(4，0)，(0，1)B．(－4，0)，(4，0)C．(0，1)，(0，－1)D．(－4，0)，(0，－1)解析：选B．双曲线的焦点在x轴上，令y＝0，得x＝±4，所以双曲线的顶点坐标为(－4，0)，(4，0)．在平面直角坐标系中，实半轴长为1，虚半轴长为2的双曲线的标准方程是()A．x2－y24＝1B．y2－x24＝1C．x24－y216＝1或y24－x216＝1D．x2－y24＝1或y2－x24＝1解析：选D．由题意，知a＝1，b＝2.焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是x2－y24＝1；焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2－x24＝1.故选D．双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：法一：由双曲线的标准方程知焦点在x轴上，a2＝16，b2＝9，则a＝4，b＝3，故双曲线的两条渐近线的方程为y＝±bax＝±34x.法二：令x216－y29＝0，解得y＝±34x.答案：y＝±34x(2018·高考北京卷)若双曲线x2a2－y24＝1(a0)的离心率为52，则a＝________．解析：由题意可得，a2＋4a2＝54，得a2＝16，又a0，所以a＝4.答案：4双曲线的几何性质求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.【解】将9y2－4x2＝－36化为标准方程为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，所以a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点为A1(－3，0)，A2(3，0)，焦点为F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±bax＝±23x.(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)求双曲线的离心率，归纳起来有两种方法：①由条件寻找a，b，c所满足的关系，用公式e＝ca＝1＋ba2求解．②依据条件列出含有a，c的齐次方程，利用e＝ca转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e＞1对所得解进行取舍．1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．42解析：选C．双曲线方程可变形为x24－y28＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C．2．(2019·烟台检测)双曲线x29－y216＝1的左顶点与右焦点的距离为()A．2B．4C．5D．8解析：选D．由x29－y216＝1，知a＝3，c＝5，所以左顶点与右焦点的距离为a＋c＝8.由双曲线的几何性质求标准方程根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P(3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x29＋y24＝1有公共焦点，且离心率e＝52；(3)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．【解】(1)由e＝ca＝2，知c＝2a，因此a＝b.即所求双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又P(3，－5)在双曲线上，所以9－(－5)2＝λ，即λ＝4.因此双曲线的标准方程为x24－y24＝1.(2)由椭圆标准方程知c2＝9－4＝5，所以双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由e＝ca＝52，且c＝5知a＝2，所以b2＝c2－a2＝1.所以双曲线的标准方程为x24－y2＝1.(3)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.(1)求双曲线的标准方程的方法①解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．②如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n.(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法与双曲线x2a2－y2b2＝1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)过点(2，0)，与双曲线y264－x216＝1离心率相等；(3)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)．解：(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知2b＝8，e＝ca＝53，从而b＝4，c＝53a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为x29－y216＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为x264－y216＝λ(λ0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为y264－x216＝λ(λ0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－140(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.(3)法一：由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y2329－x28＝1.法二：由题意可设所求双曲线方程为x2m－y2n＝1(mn0)．由题意，得1m－4n＝1，nm＝49，解得m＝－8，n＝－329.因此所求双曲线的标准方程为y2329－x28＝1.双曲线的离心率角度一求双曲线的离心率的值(2019·绍兴检测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且∠F1PF2＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为()A．2－1B．2＋1C．2D．3【解析】由题设知∠F1PF2＋∠PF1F2＝90°.又∠F1PF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝30°.不妨设P(c，d)(d0)，则|PF2|＝d，|PF1|＝2d，|F1F2|＝3d.从而2a＝|PF1|－|PF2|＝2d－d＝d，2c＝|F1F2|＝3d，故e＝2c2a＝3dd＝3.【答案】D求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e＝ca.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后，利用e＝1＋ba2求解．角度二求双曲线离心率的取值范围(2019·长春检测)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与直线x＝a2c分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点，若60°∠AFB90°，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，2)B．233，＋∞C．(2，2)D．233，2【解析】由题意，不妨设A，B分别位于第一、四象限．因为双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，所以与直线x＝a2c交于A，B两点的坐标分别为Aa2c，abc，Ba2c，－abc，则A，B两点关于x轴对称．因为60°∠AFB90°，所以33kBF1，所以33abcc－a2c1，所以33ab1，所以13a2c2－a21，所以1e2－13，所以2e2，故选C．【答案】C求离心率的取值范围的技巧(1)根据条件建立a，b，c的不等式．(2)通过解不等式得ca的取值范围，求得离心率的取值范围．1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A．6B．5C．62D．52解析：选D．由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－bax，所以－2＝－ba·4，所以a＝2b.法一：设b＝k，则a＝2k，c＝5k，所以e＝ca＝5k2k＝52.法二：e2＝b2a2＋1＝14＋1＝54，故e＝52.2．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是()A．(1，2)B．(1，2]C．(1，5)D．(1，5]解析：选D．由题意可得，双曲线渐近线的斜率ba≤2，所以e＝1＋ba2≤5.又e1，所以离心率e的取值范围是(1，5]．1．(2019·中山检测)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则C的渐近线的斜率为()A．±33B．±3C．±13D．±3解析：选A．因为双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，所以ca＝2，所以c2＝4a2，所以a2＋b2＝4a2，所以ab＝33，所以C的渐近线方程为y＝±33x，所以C的渐近线的斜率为±33，故选A．2．已知双曲线x24＋y2m＝1的离心率e∈(1，2)，则m的取值范围是________．解析：因为双曲线x24＋y2m＝1的实半轴长a＝2，虚半轴长为－m，c＝4－m为半焦距，所以离心率e＝4－m2，又因为e∈(1，2)，所以14－m22，解得－12m0.答案：(－12，0)3．已知双曲线C与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，且离心率为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)求双曲线的渐近线方程．解：(1)椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以c＝4.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为e＝ca＝2，所以a＝2.所以b2＝c2－a2＝12.所以双曲线C的标准方程为x24－y212