2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课件 新人教A

第二章圆锥曲线与方程2．2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程第二章圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养双曲线的定义理解并掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决相关问题数学抽象、逻辑推理双曲线的标准方程掌握双曲线的标准方程，了解其推导过程，掌握求双曲线标准方程的基本方法直观想象、数学运算问题导学预习教材P45～P48，并思考下列问题：1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？2．双曲线的焦点、焦距分别是什么？3．双曲线的标准方程是什么？1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(02a|F1F2|)．(3)焦点：两个定点_________．(4)焦距：__________的距离，表示为|F1F2|.绝对值小于F1，F2两焦点间■名师点拨要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”．(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹成为双曲线的一支．(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程____________________________________________焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝______x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)a2＋b2■名师点拨(1)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．(2)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a0，b0且a≠b.()×××已知两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是()A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0解析：选A．对于选项A，因为|F1F2|＝6，所以||PF1|－|PF2||＝5|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是以F1和F2为端点的两条射线(含端点)；对于选项C，因为||PF1|－|PF2||＝7|F1F2|，所以动点P的轨迹不存在；对于选项D，因为||PF1|－|PF2||＝0，所以|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质可知，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是()A．y236－x264＝1B．x264－y236＝1C．x236－y264＝1D．x236－y264＝1或y236－x264＝1解析：选D．因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，故应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A．(－2，0)，(2，0)B．(－2，0)，(2，0)C．(0，－2)，(0，2)D．(0，－2)，(0，2)解析：选B．由双曲线的标准方程可知，a2＝3，b2＝1，则c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，故c＝2.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．双曲线标准方程的认识已知方程x2k－5－y2|k|－2＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是()A．k5B．k5或－2k2C．k2或k－2D．－2k2【解析】因为方程对应的图形是双曲线，所以(k－5)(|k|－2)0.即k－50，|k|－20或k－50，|k|－20.解得k5或－2k2.【答案】B双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x2m＋y2n＝1，则当mn0时，方程表示双曲线．若m0，n0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若m0，n0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线．1．已知双曲线x2a－3＋y22－a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A．32B．5C．7D．12解析：选D．根据题意可知，双曲线的标准方程为y22－a－x23－a＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝12.2．在方程mx2－my2＝n中，若mn0，则方程所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆解：选C．方程mx2－my2＝n可化为x2nm－y2nm＝1.由mn0知nm0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)；(3)以椭圆x28＋y25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)．【解】(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为x29－y27＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝|（－5－0）2＋（6＋6）2－（－5－0）2＋（6－6）2|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.所以所求双曲线的标准方程是y216－x220＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝22，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则有a2＋b2＝c2＝8，9a2－10b2＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为x23－y25＝1.(1)求双曲线标准方程的步骤①定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．②定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．(2)双曲线标准方程的两种求法①定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．②待定系数法：先设出双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．[注意]若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn0.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)；(2)双曲线过两点P3，154，Q－163，5.解：(1)设双曲线的标准方程为x216－k－y24＋k＝1(－4k16)．将点(32，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.(2)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．因为点3，154，－163，5在双曲线上，所以9A＋22516B＝1，2569A＋25B＝1，解得A＝－116，B＝19.所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.双曲线定义的应用角度一焦点三角形问题设P为双曲线x2－y212＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，求△PF1F2的面积．【解】由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶2，所以|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝213，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝62＋42－522×6×4＝0，所以△F1PF2为直角三角形．S△PF1F2＝12×6×4＝12.1．(变条件)若将“|PF1|∶|PF2|＝3∶2”改为“|PF1|·|PF2|＝24”，求△PF1F2的面积．解：由双曲线方程为x2－y212＝1，可知a＝1，b＝23，c＝1＋12＝13.因为|PF1|·|PF2|＝24，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1|·|PF2|－4c22×24＝4＋2×24－4×1348＝0，所以△PF1F2为直角三角形，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12.2．(变条件)本例中将条件“|PF1|∶|PF2|＝3∶2”改为“∠F1PF2＝120°”，求△PF1F2的面积．解：由已知得2a＝2，c＝13，又由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2，①在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝(2c)2＝(213)2＝52，②由①②可得|PF1||PF2|＝16.所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×16×32＝43.求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．角度二由双曲线的定义求轨迹方程如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三个内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．【解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理得sinA＝|BC|2R，sinB＝|AC|2R，sinC＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径)．因为2sinA＋sinC＝2sinB，所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|，从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝22＜|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．因为a＝2，c＝22，所以b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x＞2)．定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上．1．已知F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝________．解析：设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosα，所以cosα＝（r1－r2）2＋2r1r2－4c22r1r2＝36＋64－10064＝0，所以α＝90°.答案：90°2．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝9，圆C2：(x－3)2＋y2＝1.(1)若动圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，求动圆圆心M的轨迹方程；(2)若动圆M同时与圆C1及圆C2外切，求动圆圆心M的轨