2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 椭圆的简单几何性质

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223答案C答案3解析根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝22，所以椭圆C的离心率为e＝222＝22.故选C.解析42．直线y＝x＋1被椭圆x24＋y22＝1所截得的线段的中点坐标为()A.23，53B.43，73C.－23，13D.－132，－172答案C答案5解析由y＝x＋1，x2＋2y2＝4消去y，得3x2＋4x－2＝0.设直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－43，∴y1＋y2＝x1＋x2＋2＝23.∴AB中点的坐标为－23，13.解析63．若直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A．－54k54B．k＝54或k＝－54C．k54或k－54D．k54且k≠－54答案C答案7解析由kx－y＋3＝0，x216＋y24＝1，可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝(24k)2－4×(4k2＋1)×20＝16(16k2－5)0，即k54或k－54时，直线与椭圆有两个公共点．解析84．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|为()A.32B.3C.72D．4答案C解析∵|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝b2a＝12，∴|PF2|＝4－12＝72.答案解析95．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B.0，12C.0，22D.22，1答案C答案10解析由MF1→·MF2→＝0知MF1⊥MF2，∴以F1F2为直径的圆包含在椭圆内部，∴椭圆上的点均满足∠F1MF290°，∴只需F1，F2与短轴端点形成的角为锐角，所以cb⇒c2b2＝a2－c2，即2c2a2，解得e∈0，22.解析116．过椭圆C：x24＋y23＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则1|AF|＋1|BF|等于()A.43B.34C.35D.53答案A答案12解析由已知得直线l：y＝3(x＋1)．联立y＝3x＋1，x24＋y23＝1，可得A(0，3)，B－85，－335，又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝65，∴1|AF|＋1|BF|＝43.解析13二、填空题7．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1，r2，则卫星运行轨道的离心率是________．答案r2－r12R＋r1＋r2解析由题意得a＋c＝r2＋R，a－c＝r1＋R，∴2a＝2R＋r1＋r2，2c＝r2－r1.∴e＝ca＝r2－r12R＋r1＋r2.答案解析148．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________．答案6解析由椭圆x24＋y23＝1可得F(－1,0)，O(0,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP→·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－14x2＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6.答案解析159．如图，已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．答案53答案16解析连接OQ，F1P，则由切线的性质，则OQ⊥PF2，又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点，∴OQ∥F1P，∴PF2⊥PF1，故|PF2|＝2a－2b，且|PF1|＝2b，|F1F2|＝2c，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，得4c2＝4b2＋4(a2－2ab＋b2)，解得b＝23a，则c＝53a，故椭圆的离心率为53.解析17三、解答题10．(2018·广东江门普通高中调研)已知F为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，且MF→·NF→＝0，△MNF的面积为12ab.(1)求椭圆的离心率；(2)若F(3，0)，过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．18解(1)设椭圆的焦半距为c，左焦点为F1.因为MF→·NF→＝0，所以MF⊥NF，由椭圆的对称性可知四边形F1MFN为矩形，|MF1|＝|NF|，所以|MF1|＋|MF|＝2a，|MF1|2＋|MF|2＝4c2，|MF1|×|MF|＝ab，得4a2＝4c2＋2ab，由a2＝b2＋c2消去上式的b得34a2＝c2，即c2a2＝34，椭圆C的离心率e＝32.答案19(2)因为F的坐标为(3，0)，由(1)中e＝32，所以c＝3，a＝2，b2＝a2－c2＝4－3＝1，故椭圆的方程为x24＋y2＝1.设直线AB的斜率为k，直线AB不与坐标轴垂直．故k≠0，直线AB的方程为y＝k(x－3)，答案20将AB方程与椭圆方程联立得y＝kx－3，x2＋4y2＝4，消去y得(1＋4k2)x2－83k2x＋12k2－4＝0，由韦达定理得，x1＋x2＝83k21＋4k2，设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝43k21＋4k2，y0＝k43k21＋4k2－3＝－3k1＋4k2.则AB垂直平分线的方程为y－y0＝－1k(x－x0)．答案21令y＝0，G点横坐标为xG＝x0＋ky0＝43k21＋4k2－3k21＋4k2＝33k21＋4k2＝334－3341＋4k2，因为k≠0，所以1＋4k21.故点G横坐标的取值范围为0，334.答案22B级：能力提升练1．(2018·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为53，|AB|＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限，若△BPM的面积是△BPQ的面积的2倍，求k的值．23解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有c2a2＝59，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.又|AB|＝a2＋b2＝13，从而a＝3，b＝2.所以椭圆的方程为x29＋y24＝1.答案24(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2x10，点Q的坐标为(－x1，－y1)．由△BPM的面积是△BPQ的面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组2x＋3y＝6，y＝kx消去y，可得x2＝63k＋2.由方程组x29＋y24＝1，y＝kx消去y，可得x1＝69k2＋4.答案25由x2＝5x1，可得9k2＋4＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－89或k＝－12.当k＝－89时，x2＝－90，不符合题意，舍去；当k＝－12时，x2＝12，x1＝125，符合题意．所以k的值为－12.答案262．(2018·北京高考)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值；(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q－74，14共线，求k.27解(1)由题意得2c＝22，所以c＝2，又e＝ca＝63，所以a＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆M的方程为x23＋y2＝1.答案28(2)设直线l的方程为y＝x＋m，由y＝x＋m，x23＋y2＝1，消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m20，即m24.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34，则|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝6·4－m22，易得当m2＝0时，|AB|max＝6，故|AB|的最大值为6.答案29(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x21＋3y21＝3，①x22＋3y22＝3，②又P(－2,0)，所以可设k1＝kPA＝y1x1＋2，直线PA的方程为y＝k1(x＋2)，由y＝k1x＋2，x23＋y2＝1，消去y可得(1＋3k21)x2＋12k21x＋12k21－3＝0，答案30则x1＋x3＝－12k211＋3k21，即x3＝－12k211＋3k21－x1，又k1＝y1x1＋2，结合①式可得x3＝－7x1－124x1＋7，所以y3＝y14x1＋7，所以C－7x1－124x1＋7，y14x1＋7，同理可得D－7x2－124x2＋7，y24x2＋7.故QC→＝x3＋74，y3－14，QD→＝x4＋74，y4－14.因为Q，C，D三点共线，所以x3＋74y4－14－x4＋74y3－14＝0，将点C，D的坐标代入化简可得y1－y2x1－x2＝1，即k＝1.答案本课结束