2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程课

2．2.1椭圆及其标准方程课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．椭圆(1)叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距．应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a|F1F2|这一个条件．(2)集合的语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a|F1F2|}．□01平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹□02这两个定点□03两焦点间的距离□04□05课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．椭圆的标准方程课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A0，B0，A≠B)．()答案(1)√(2)×(3)√答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)(教材改编P38“椭圆的定义”)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为____________________．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)椭圆的方程为y29＋x24＝1，则a＝______，b＝______，c＝________.(4)椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．答案(1)A(2)x225＋y216＝1(3)325(4)6解析(1)∵|MF1|＋|MF2|＝10|F1F2|＝6，由椭圆定义可知，动点M的轨迹为椭圆．答案解析课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1椭圆的定义例1已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是()A.x29＋y28＝1(x≠±3)B.x29＋y28＝1(x≠0)C.x24＋y23＝1(y≠0)D.x23＋y24＝1(y≠0)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案]A[解析]∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝3，b＝22.又∵A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为x29＋y28＝1(x≠±3)．答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解设圆P的半径为r.又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2椭圆标准方程的应用例2若方程x216－m＋y2m＋9＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．－9m16B．－9m72C.72m16D．m72课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案]C[解析]依题意可得16－m0，m＋90，m＋916－m，解得72m16.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]若将例2条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．解依题意可得16－m0，m＋90，16－mm＋9，解得－9m72.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[结论探究]如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？解由题意得c2＝(m＋9)－(16－m)＝2m－7，所以c＝2m－7，又72m16，所以02m－725，c∈(0,5)，所以焦距2c∈(0,10)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升方程x2m＋y2n＝1表示椭圆的条件是m0，n0，m≠n，表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m0，n0，mn，表示焦点在y轴上的椭圆的条件是m0，n0，mn.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】(1)“3m7”是“方程x27－m＋y2m－3＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析由方程x27－m＋y2m－3＝1表示的曲线是椭圆，可得7－m0，m－30，7－m≠m－3，解得3m7且m≠5，所以3m7且m≠5⇒3m7，而3m7推不出3m7且m≠5.所以，“3m7”是“方程x27－m＋y2m－3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)已知椭圆的标准方程为x225＋y2m2＝1(m0)，并且焦距为6，求实数m的值．解∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25,a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m0，故m＝34.综上，实数m的值为4或34.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3椭圆的标准方程例3求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)；(2)a＝8，c＝6；(3)经过两点P113，13，P20，－12.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)由题意得，2a＝4－02＋32＋22＋4－02＋32－22＝12，得a＝6.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32.∴所求的椭圆的方程为x232＋y236＝1.(2)∵a＝8，c＝6，∴b2＝a2－c2＝64－36＝28.当焦点在x轴上时，椭圆的方程为x264＋y228＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为y264＋x228＝1.故所求的椭圆方程为x264＋y228＝1或y264＋x228＝1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，依题意知132a2＋132b2＝1，－122b2＝1，解得a2＝15，b2＝14.∵a2＝1514＝b2，∴焦点在x轴上的椭圆不存在．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由题意得132a2＋132b2＝1，－122a2＝1，解得a2＝14，b2＝15.故所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解法探究]解答例3(1)(3)有没有其他解法呢？解(1)∵椭圆的焦点在y轴上，设所求的椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由题意得16b2＋18a2＝1，a2－b2＝4，得a2＝36，b2＝32.∴所求的椭圆方程为x232＋y236＝1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．由题意得A132＋B132＝1，B－122＝1，解得A＝5，B＝4，∴所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1，即y214＋x215＝1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练例4已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]如图所示，由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(－4，0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3.设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|＝r1－r.①答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|＝r2＋r.②由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点．由题意，得c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.∴椭圆的方程为x264＋y248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为x264＋y248＝1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a，b，c，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．②求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式x1＝gx，y，y1＝hx，y.③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】(1)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴