2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程课

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．已知点A(－3,0)，B(0,2)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则椭圆的标准方程为()A.x23＋y22＝1B.x29＋y24＝1C.x23＋y2＝1D.x25＋y24＝1答案B答案3解析由题意得9m2＝1，4n2＝1，解得m2＝9，n2＝4，所以椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.解析42．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．直线C．射线D．圆答案A答案5解析根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线，所以|MP|＝|PF|，所以|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又因为|MO||FO|，所以根据椭圆的定义可判断出点P的轨迹是以F，O两点为焦点的椭圆．解析63．方程x－22＋y2＋x＋22＋y2＝10化简的结果是()A.x225＋y216＝1B.x225＋y221＝1C.x225＋y24＝1D.y225＋x216＝1答案B答案7解析由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝2，a＝5.所以b2＝a2－c2＝21，故化简结果为x225＋y221＝1.解析84．椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A．2B．4C．6D.32答案B解析设椭圆的另一个焦点为F2，因为椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2，即|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝8.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|＝12|MF2|＝4.答案解析95．椭圆x225＋y29＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是()A．(5,0)或(－5,0)B.52，332或52，－332C．(0,3)或(0，－3)D.532，32或－532，32答案C答案10解析记F1(－4,0)，F2(4,0)，|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝1022＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．∴P应在椭圆短轴的端点，∴P(0,3)或(0，－3)．解析116．我们把由半椭圆x2a2＋y2b2＝1(x≥0)与半椭圆y2b2＋x2c2＝1(x0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，abc0)．如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()12A.72，1B.3，1C．5,3D．5,4答案A解析由题意知，a2－b2＝322＝34，b2－c2＝122＝14，∴a2－c2＝1.又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1.∴a2＝74，a＝72.答案解析13二、填空题7．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.答案8答案14解析如图，由椭圆的定义知，|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，∴|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝20－12＝8.解析158．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上．则sinA＋sinCsinB＝________.答案54答案16解析由椭圆方程x225＋y29＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.于是，在△ABC中，由正弦定理，得sinA＋sinCsinB＝|BC|＋|BA||AC|＝54.解析179．(2018·上海金山中学高二期中)已知椭圆x25＋y24＝1的左、右顶点分别为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则cosα－βcosα＋β＝________.答案19答案18解析设P(x0，y0)，则kAP·kBP＝y0x0－5·y0x0＋5＝y20x20－5＝41－x205x20－5＝－45，所以tanαtanβ＝－45，故cosα－βcosα＋β＝cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ＝1＋tanαtanβ1－tanαtanβ＝1－451＋45＝19.解析19三、解答题10．如图，已知点P(3,4)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1→·PF2→＝0.(1)求椭圆的方程；(2)求△PF1F2的面积．20解(1)∵PF1→·PF2→＝0，∴△PF1F2是直角三角形，∴|OP|＝12|F1F2|＝c.又|OP|＝32＋42＝5，∴c＝5.∴椭圆方程为x2a2＋y2a2－25＝1.又P(3,4)在椭圆上，∴9a2＋16a2－25＝1，∴a2＝45或a2＝5.又ac，∴a2＝5舍去．故所求椭圆方程为x245＋y220＝1.答案21(2)由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝65，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，②由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×40＝20.答案22B级：能力提升练1．已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．23解(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－3，0)，F2(3，0)．①在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°.②由①②得|PF1||PF2|＝43.所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝33.答案24(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得PF1→·PF2→0，即(－3－x，－y)(3－x，－y)0.又y2＝1－x24，所以34x22，解得－263x263.所以点P横坐标的范围是－263，263.答案252．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点．(1)若椭圆C上的点A1，32到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．26解(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A1，32在椭圆上，因此122＋322b2＝1，得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1，焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．答案27(2)设椭圆C上的动点K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)，则x＝－1＋x12，y＝y12，即x1＝2x＋1，y1＝2y.因为点K(x1，y1)在椭圆x24＋y23＝1上，所以2x＋124＋2y23＝1，即x＋122＋4y23＝1，此即为所求点的轨迹方程．答案本课结束