2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.3 椭圆习题课课件 新人教A版选修1

2.1.3椭圆习题课目标定位重点难点1.提升对椭圆定义、标准方程的理解，进一步巩固椭圆的简单几何性质2．掌握如何解决直线与椭圆位置关系的相关问题重点：椭圆的几何性质难点：直线与椭圆的关系1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系，判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去x或y得一元二次方程．当Δ0时，方程______，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程______，直线与椭圆相切；当Δ0时，方程______，直线与椭圆相离．【答案】有两解有一解无解3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．(2)求弦长的方法．①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：若直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.1．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则实数m的取值范围是()A．m1B．m≥1或0m1C．0m5且m≠1D．m≥1且m≠5【答案】D【解析】直线y＝kx＋1是过点(0,1)的任意直线，要其与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则点(0,1)在椭圆内或椭圆上，所以0＋1m≤1，即m≥1或m0.由方程表示椭圆，可知m0且m≠5.所以m≥1且m≠5.2．以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长是()A．32B．26C．27D．42【答案】C【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由b2x2＋a2y2－a2b2＝0，x＋3y＋4＝0，得(a2＋3b2)y2＋83b2y＋16b2－a2b2＝0.由Δ＝0及c＝2，可得a2＝7，∴2a＝27.3．过椭圆x213＋y212＝1的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.【答案】241313【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，把x＝1代入x213＋y212＝1中，得y2＝12213，y＝±121313，|AB|＝241313.4．若点O和点F分别为椭圆x22＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，F(－1,0)，设点P(x，y)，则有x22＋y2＝1，解得y2＝1－x22.于是|OP|2＋|PF|2＝x2＋y2＋(x＋1)2＋y2＝x2＋(x＋1)2＋2－x2＝(x＋1)2＋2，又|x|≤2，所以|OP|2＋|PF|2的最小值为2.【解题探究】利用根与系数的关系法或点差法求解．直线与椭圆的位置关系【例1】已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l的方程；(2)求直线l被椭圆截得的弦长．解：(1)方法一(根与系数的关系法)：直线l的斜率不存在时，不合题意．可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程，化简得(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.∴x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，解得k＝－12.∴直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.方法二(点差法)：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x21＋4y21－36＝0，x22＋4y22－36＝0.两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，x1≠x2，∴y1－y2x1－x2＝－12，即k＝－12.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.(2)由(1)知直线l：x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x＋14＝0.方法一：解方程得x1＝4＋2，y1＝2－22，x2＝4－2，y2＝2＋22.∴直线l被椭圆截得的弦长为[4＋2－4－2]2＋2－22－2＋222＝10.方法二：∵x1＋x2＝8，x1x2＝14，∴直线l被椭圆截得的弦长为1＋－122·82－4×14＝10.8解决椭圆中点弦问题的两种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．8(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.1．(2019年吉林长春模拟)椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为22，则mn的值是()A．22B．233C．922D．2327【答案】A【解析】由mx2＋ny2＝1，y＝1－x消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，则x1＋x2＝2nm＋n，∴x0＝nm＋n.代入y＝1－x，得y0＝mm＋n.由题意知y0x0＝22，∴mn＝22.故选A．与椭圆有关的综合问题【例2】如图所示，点A，B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【解题探究】(1)设出点的坐标，联立方程组求解；(2)配方法求最值．【解析】(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)．则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)．由已知得x236＋y220＝1，x＋6x－4＋y2＝0.则2x2＋9x－18＝0，即得x＝32或x＝－6.由于点P位于x轴上方，只能x＝32，于是y＝523.∴点P的坐标是32，523.(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0.设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是|m＋6|2，于是|m＋6|2＝|m－6|.又－6≤m≤6，解得m＝2.设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49x－922＋15，其中－6≤x≤6.∴当x＝92时，d取最小值15.8解决与椭圆有关的最值问题，一般有三种思路：(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围．2．(2017年北京)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.(1)解：设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由题意得a＝2，ca＝32，解得c＝3.∴b2＝a2－c2＝1.∴椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝nm＋2，∴直线DE的斜率kDE＝－m＋2n.∴直线DE的方程为y＝－m＋2n(x－m)，直线BN的方程为y＝n2－m(x－2)．联立y＝－m＋2nx－m，y＝n2－mx－2，解得点E的纵坐标yE＝－n4－m24－m2＋n2.由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，∴yE＝－45n.又S△BDE＝12|BD|·|yE|＝25|BD|·|n|，S△BDN＝12|BD|·|n|，∴△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.忽略Δ＞0出错【示例】已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l为y＝x＋m，则是否存在实数m，使直线l与(1)中的椭圆有两个不同的交点M，N且|AM|＝|AN|？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【错解】(1)依题意，设椭圆的方程为x2a2＋y2＝1，设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得|c＋22|2＝3，∴c＝2.∴a2＝b2＋c2＝3.∴所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得y＝x＋m，x23＋y2＝1，∴4x2＋6mx＋3m2－3＝0.∴x1＋x2＝－32m，y1＋y2＝m2.∵|AM|＝|AN|，∴x21＋y1＋12＝x22＋y2＋12.平方整理得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2＋2)(y1－y2)＝0.又y1－y2＝x1－x2，∴－32m＋m2＋2＝0.∴m＝2.【错因分析】此解忽视了直线与椭圆有两个不同交点的条件：Δ0，而m＝2时，Δ＝0，不符合题意．【正解】(1)依题意，设椭圆的方程为x2a2＋y2＝1,设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得|c＋22|2＝3，∴c＝2.∴a2＝b2＋c2＝3.∴所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得y＝x＋m，x23＋y2＝1，∴4x2＋6mx＋3m2－3＝0.∴x1＋x2＝－32m，y1＋y1＝m2.∵|AM|＝|AN|，∴x21＋y1＋12＝x22＋y2＋12.平方整理得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2＋2)(y1－y2)＝0.又y1－y2＝x1－x2，∴－32m＋m2＋2＝0.∴m＝2.又Δ0，∴(6m)2－4×4(3m2－3)0，解得－2m2.∴满足条件的m的值不存在．【警示】研究直线与椭圆的位置关系，通常联立直线与椭圆的方程消元，在求解过程中容易忽略对根的判别式的判断．研究直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般转化为一元二次方程问题，利用判别式Δ和根与系数的关系来处理，我们习惯上称为“设而不求”，对于中点弦，通常采用“点差法”求解．1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定【答案】B【解析】直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1的内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1相交．故选B．2．直线y＝x＋m与椭圆x2144＋y225＝1有两个公共点，则实数m的取值范围是()A．(－5,5)B．(－12,12)C．(－13,13)D．(－15,15)【答案】C【解析】联立x2144＋y225＝1，y＝x＋m，整理可得169x2＋288mx＋144(m2－25)＝0，因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝2882m2－4×169×144(m2－25)＞0，解得－13m13.3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝12x＋1截得的弦长为________．【答案】35【解析】由