2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质课件 新人教A

2.1.2椭圆的简单几何性质目标定位重点难点1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质2．掌握标准方程中的a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e的关系重点：椭圆的几何性质难点：椭圆的几何性质的应用椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上轴长短轴长＝____，长轴长＝____焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距2c对称性对称轴___________，对称中心____离心率e＝ca(0＜e＜1)2b2ax轴、y轴原点【答案】D1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，6)，(0，－6)2．椭圆x24＋y23＝1的离心率为()A．14B．12C．2D．4【答案】B3．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)【答案】D4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为________．【答案】x245＋y236＝1【例1】求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．【解题探究】先将椭圆方程化成标准形式，再求值．椭圆的简单几何性质【解析】将椭圆方程变形为x29＋y24＝1，∴a＝3，b＝2.∴c＝a2－b2＝9－4＝5.∴椭圆的长轴长为2a＝6，焦距为2c＝25，焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝ca＝53.8确定椭圆的几何性质，应先将椭圆方程化成标准形式，确定焦点的位置，再根据a，b的值，求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．1．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝32.(1)求实数m的值；(2)求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．【解析】(1)椭圆方程可化为x2m＋y2mm＋3＝1，∵m－mm＋3＝mm＋2m＋30，∴mmm＋3，∴a2＝m，b2＝mm＋3，c2＝a2－b2＝mm＋2m＋3.由e＝32，得m＋2m＋3＝32，∴m＝1.(2)由(1)，知椭圆的标准方程为x2＋y214＝1，a＝1，b＝12，c＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1－32，0，F232，0；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－12，B20，12.【解题探究】求椭圆的标准方程，就是用待定系数法求a，b.利用椭圆的几何性质求标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3,0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距为8.【解析】(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6.∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4.∴a2＝b2＋c2＝32.∴所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.8由椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程的一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②构造方程，求a，b的值；③写出标准方程.2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(－3,0)，Q(0，－2)；(2)长轴长为20，离心率等于35.【解析】(1)由椭圆的几何性质，知以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P，Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有a＝3，b＝2.又长轴在x轴上，所以所求的椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.(2)因为2a＝20，e＝ca＝35，所以a＝10，c＝6，b2＝a2－c2＝64.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为x2100＋y264＝1或y2100＋x264＝1.忽视焦点位置的讨论致误【示例】已知椭圆x2k＋8＋y29＝1的离心率e＝12，则实数k的值等于________．【错解】因为a2＝k＋8，b2＝9，所以c2＝k＋8－9＝k－1.又因为e＝12，所以k－1k＋8＝12，解得k＝4.【错因分析】仅根据椭圆的离心率不能确定焦点位置，而上述解法默认为焦点在x轴上，没有对焦点的位置进行讨论．【正解】根据椭圆的标准方程，可讨论如下两种情况：(1)若椭圆焦点在x轴上，则a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1.由e＝12，得k－1k＋8＝12，解得k＝4.(2)若椭圆焦点在y轴上，则a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝9－(k＋8)＝1－k，由e＝12，得1－k3＝12，解得k＝－54.综上可知k＝4或k＝－54.【警示】椭圆的几何性质分为两类：第一类是与坐标系无关的本身固有的性质，如长轴长、短轴长、焦距、离心率；第二类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标．仅根据第一类的性质不能确定焦点的位置，必须分类讨论．1．深刻理解椭圆的标准方程中几何量a，b，c，e等之间的关系和几个量的本质含义．2．讨论椭圆的几何性质时，要分清焦点所在的坐标轴．1．如图，A，B，C分别为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.－1＋52B．1－22C．2－1D．22【答案】A【解析】|AB|2＝a2＋b2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋c)2，∵∠ABC＝90°，∴|AC|2＝|AB|2＋|BC|2，即(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2.∴2ac＝2b2，即b2＝a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52.又e＞0，∴e＝－1＋52.2．(2019年河北张家口期末)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1的短轴长与椭圆y221＋x29＝1的短轴长相等，则()A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9【答案】D【解析】∵椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，∴a2＝25，b2＝9.3．椭圆x2m2＋y23－m＝1的一个焦点为(0,1)，则m等于______．【答案】－2或1【解析】由于椭圆的焦点为(0,1)，∴3－m－m2＝1，解得m＝－2或1.【答案】1【解析】设|PF1|＝r，则|PF2|＝4－r,1≤r≤3.|PF1|·|PF2|＝r(4－r)＝－r2＋4r，当r＝1或3时，(|PF1|·|PF2|)min＝3；当r＝2时，(|PF1|·|PF2|)max＝4.∴|PF1|·|PF2|的最大值和最小值之差为1.4．P是椭圆x24＋y23＝1上的任意一点，F1，F2是椭圆的焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值和最小值之差为______．