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第二章圆锥曲线与方程2．1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质第二章圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养椭圆的几何性质掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质，能够应用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质数学抽象由椭圆的几何性质求方程会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程数学运算求椭圆的离心率掌握求椭圆离心率的方法逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P37～P41，并思考下列问题：1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程____________________________________x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围______________________________________________顶点______________________________________________________________________________轴长短轴长＝___，长轴长＝___焦点_____________________________________焦距|F1F2|＝___对称性对称轴：____________，对称中心：______离心率e＝_____(0＜e＜1)－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤aA1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2b2aF1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)2cx轴和y轴原点ca■名师点拨(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上．(2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(ab0，ac0)．如图所示，a，b，c恰好构成一个直角三角形．明确了a，b的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)椭圆离心率的意义当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.()(3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．()(4)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴长等于a.()√√××椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，6)，(0，－6)答案：D与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A．x22＋y24＝1B．x2＋y26＝1C．x26＋y2＝1D．x28＋y25＝1答案：B已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是()A．x23＋y24＝1B．x24＋y23＝1C．x24＋y22＝1D．x24＋y23＝1答案：D椭圆的简单几何性质求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．【解】将椭圆方程变形为x29＋y24＝1，所以a＝3，b＝2，所以c＝a2－b2＝9－4＝5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6，2c＝25，焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离心率e＝ca＝53.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．[注意]长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．1．已知椭圆C1：x212＋y24＝1，C2：x216＋y28＝1，则()A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相同解析：选D．由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D．2．已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝35.(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝35.利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴长25，离心率e＝23；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】(1)由2b＝25，e＝ca＝23，得b2＝5，a2－b2a2＝49，a2＝9.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为x29＋y25＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为y29＋x25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x29＋y25＝1或y29＋x25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为x218＋y29＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ca等．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；(2)离心率为32，经过点(2，0)．解：(1)由题意知a＝5，c＝3，b2＝25－9＝16，焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为x225＋y216＝1或x216＋y225＝1.(2)由e＝ca＝32，设a＝2k，c＝3k，k0，则b＝k.又经过的点(2，0)为其顶点，故若点(2，0)为长轴顶点，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为x24＋y2＝1；若点(2，0)为短轴顶点，则b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为x24＋y216＝1.求椭圆的离心率设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A．36B．13C．12D．33【解析】法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m2m＋m＝33.法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝33或e＝－3(舍去)．【答案】D1．(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．解：在△PF1F2中，因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，所以∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，则在△PF1F2中，有msin75°＝nsin45°＝2csin60°，所以m＋nsin75°＋sin45°＝2csin60°，所以e＝ca＝2c2a＝sin60°sin75°＋sin45°＝6－22.2．(变条件、变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．解：由题意，知cb，所以c2b2，又b2＝a2－c2，所以c2a2－c2，即2c2a2.所以e2＝c2a212，所以e22.故C的离心率的取值范围为22，1.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．(2019·绵阳高二检测)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，所以|OP|＝c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤2c，因为e＝ca，0e1，所以22≤e1.答案：22，11．椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为()A．|x|≤3，|y|≤5B．|x|≤13，|y|≤15C．|x|≤5，|y|≤3D．|x|≤15，|y|≤13解析：选C．椭圆的标准方程为x225＋y29＝1，故|x|≤5，|y|≤3.2．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与椭圆x2a2＋y2b2＝λ(λ0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴解析：选C．将椭圆方程x2a2＋y2b2＝λ(λ0且λ≠1)化为标准方程，得x2λa2＋y2λb2＝1(λ0且λ≠1)，其离心率e＝λa2－λb2λa2＝a2－b2a.故选C．3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3，0)B．(－4，0)C．(－10，0)D．(－5，0)解析：选D．因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝b2＋c2＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．4．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________．解析：根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．又因为a2－b2＝c2，所以a＝5，c＝4，故e＝ca＝45.答案：45本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放