2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．已知点A(－1,0)，B(1,0)，且MA→·MB→＝0，则动点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1(x≠±1)D．x2＋y2＝2(x≠±2)答案A解析设动点M(x，y)，则MA→＝(－1－x，－y)，MB→＝(1－x，－y)．由MA→·MB→＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝0，即x2＋y2＝1.答案解析32．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为()A．f(x－3，y)＝0B．f(y＋3，x)＝0C．f(y－3，x＋3)＝0D．f(y＋3，x－3)＝0答案D解析在对称曲线上任选一点(x，y)，则它关于x－y－3＝0对称的点为(y＋3，x－3)．故所求曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.答案解析43．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案B解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得x＋22＋y2＝2x－12＋y2，整理，得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝4π.答案解析54．已知lg(x－2)，lg|2y|，lg16x成等差数列，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝4x2－8x(x2)B．y2＝4x2＋8x(x2)C．y＝4x2－8x(x2)D．y＝－4x2＋8x(x2)答案A解析∵lg(x－2)，lg|2y|，lg16x成等差数列，∴2lg|2y|＝lg(x－2)＋lg16x，∴4y2＝(x－2)·16x，得y2＝4x2－8x(x2)．答案解析65．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0答案B答案7解析由两点式，得直线AB的方程是y－04－0＝x＋12＋1，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝2＋12＋42＝5.设C点的坐标为(x，y)，则12×5×|4x－3y＋4|5＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.解析86．已知定点F1(－2,0)与F2(2,0)，动点M满足|MF1|－|MF2|＝4，则点M的轨迹方程是()A.x216－y212＝1B.x24－y212＝0(x≥2)C．y＝0(|x|≥2)D．y＝0(x≥2)答案D答案9解析假设M(x，y)，根据|MF1|－|MF2|＝4，可以得到：x＋22＋y2－x－22＋y2＝4，两边平方，化简可以得到y＝0，又因为|F1F2|＝4，且|MF1||MF2|，所以动点M的轨迹是一条射线，起点是(2,0)，方向同x轴正方向．解析10二、填空题7．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是________．答案(x－1)2＋y2＝2解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.答案解析118．过点P(0,1)的直线与曲线|x|－1＝1－1－y2相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是________．答案[22，4]答案12解析曲线|x|－1＝1－1－y2可化为x≥1，(x－1)2＋(y－1)2＝1，或x－1，(x＋1)2＋(y－1)2＝1，图象如图所示，线段AB长度的取值范围是[22，4]．解析13三、解答题9．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且OP→·MN→＝4，求动点P的轨迹方程．解由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则MN→＝(x，－2y)，故OP→·MN→＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.答案1410．已知圆O：x2＋y2＝4，点A(－3,5)，点M在圆O上移动，且点P满足AP→＝13AM→，求点P的轨迹方程．15解设P(x，y)，M(x0，y0)．因为AP→＝(x＋3，y－5)，AM→＝(x0＋3，y0－5)，且AP→＝13AM→，所以(x＋3，y－5)＝13(x0＋3，y0－5)，所以x＋3＝13x0＋1，y－5＝13y0－53，即x0＝3x＋6，y0＝3y－10.答案16因为点M(x0，y0)在圆O上，所以x20＋y20＝4，即(3x＋6)2＋(3y－10)2＝4，即(x＋2)2＋y－1032＝49.故动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋y－1032＝49.答案17B级：能力提升练1．直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．18解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得x－522＋y2＝254.∵点M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分．答案19解方程组x－522＋y2＝254，x2＋y2＝16，得两曲线交点的横坐标为x＝165，故所求轨迹方程为x－522＋y2＝2540≤x165.答案202．已知两点P(－2,2)，Q(0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为2的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．21解设A(m，m)，B(m＋1，m＋1)，当m≠－2且m≠－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝m－2m＋2(x＋2)＋2和y＝m－1m＋1x＋2.由y＝m－2m＋2x＋2＋2，y＝m－1m＋1x＋2，消去m，得答案22x2－y2＋2x－2y＋8＝0.当m＝－2时，直线PA和QB的方程分别为x＝－2和y＝3x＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0.当m＝－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0.综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0.答案本课结束