2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程课

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的是()A．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线B．△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，BC边上的中线的方程是x＝0C．到x轴的距离为5的点的轨迹方程为y＝5D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件是m＝0答案D答案3解析A表示去掉点(0,2)的直线y＝x＋2；B中，BC边上的中线方程为x＝0(0≤y≤3)；C中轨迹方程为y＝±5.解析42．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线答案C解析由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．答案解析53．方程x2＋y2＝1(xy0)表示的曲线形状是()6答案C解析由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．又∵xy0，∴图象在第二、四象限内．答案解析74．下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝xB．y＝lgx2与y＝2lgxC.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x2答案D解析主要考虑x与y的范围．答案解析85．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得OC→＝aOA→＋bOB→(a，b∈R)，则以下说法正确的是()A．点P(a，b)一定在单位圆内B．点P(a，b)一定在单位圆上C．点P(a，b)一定在单位圆外D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上答案B答案9解析∵OC→2＝(aOA→＋bOB→)2，且OA→⊥OB→，∴a2＋b2＋2abOA→·OB→＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上．故选B.解析106．已知a，b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，且点(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，则f(x，y)＝0的几何特征是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称答案D解析依题意，点(a，b)与点(b，a)都在曲线f(x，y)＝0上，而两点关于直线y＝x对称．故选D.答案解析11二、填空题7．已知方程①x－y＝0；②x－y＝0；③x2－y2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．答案①解析①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x－y＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程xy＝1.答案解析128．方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线围成的图形面积为________．答案8答案13解析由|y－1|＝2－|x＋1|≤2得－2≤y－1≤2，故－1≤y≤3.(1)当－1≤y≤1时，原方程可化为y＝|x＋1|－1，其图象可由y＝|x|先向左平移1个单位，再向下平移一个单位得到；(2)当1y≤3时，原方程可化为y＝3－|x＋1|，其图象可由y＝－|x|先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到．综合(1)(2)作出方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线如图所示，易求其围成的面积为8.解析149．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的图形是________．答案正方形答案15解析当x≥1，y≥1时，原方程为x＋y＝3；当x≥1，y1时，原方程为x－y＝1；当x1，y≥1时，原方程为－x＋y＝1；当x1，y1时，原方程为x＋y＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．解析16三、解答题10．求集合x，yx1＋x＋y1＋y＝x＋y1＋x＋y，xy≠0，x，y∈R表示的曲线．17解化简x1＋x＋y1＋y＝x＋y1＋x＋y，得x1＋x－x1＋x＋y＋y1＋y－y1＋x＋y＝0，即xy1＋x1＋x＋y＋xy1＋y1＋x＋y＝0.∵xy≠0,1＋x≠0,1＋y≠0,1＋x＋y≠0，∴11＋x＋11＋y＝0，∴x＋y＋2＝0，且x≠－1，y≠－1，即除去点(－1，－1)．答案18又xy≠0，∴x≠0，y≠0，∴除去点(0，－2)和(－2,0)．∴原集合表示的曲线是直线x＋y＋2＝0，但除去直线上的(－1，－1)，(－2,0)，(0，－2)三个点．答案19B级：能力提升练讨论方程(1－x)y2＝x2(x≥0)的曲线的性质，并画出图象．20解(1)范围：∵y2≥0，又x≥0，∴1－x0，解得x1，∴0≤x1.又y2＝x21－x，∴易知当x→1时，y2→＋∞，∴x∈[0,1)，y∈R.(2)曲线与坐标轴的交点：∵当x＝0时，y＝0，∴曲线过原点．(3)对称性：用－y代替y，方程不变，故曲线关于x轴对称．答案21(4)变化趋势：设0≤x1x21，则0≤x21x22，1－x11－x20，故x211－x1x221－x2，即y21y22，答案22∴曲线在第一象限单调递增，在第四象限单调递减．根据以上性质，画出图象，如图．答案本课结束