2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明章末归纳整合课件 新人教A版选修2-2

章末归纳整合【知识构建】专题一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．演绎推理的主要形式是三段论，在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，事实上，演绎推理是我们解决问题最常用的推理形式．【思想方法专题】【例1】由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2xcosx－sin2xsinx＝(2cos2x－1)cosx－2(sinxcosx)sinx＝2cos3x－cosx－2(1－cos2x)cosx＝4cos3x－3cosx，可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式．（1）请尝试求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；（2）利用结论：cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值(3×18°＝90°－2×18°)．解：（1）cos4x＝2cos22x－1＝2(2cos2x－1)2－1＝8cos4x－8cos2x＋1.（2）令x＝18°，可得cos(3×18°)＝4cos318°－3cos18°.另一方面，cos(3×18°)＝cos54°＝sin36°＝sin(2×18°)＝2sin18°cos18°，所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°cos18°，化简，得2sin18°＝4cos218°－3＝4(1－sin218°)－3，解得sin18°＝5－14.方法点评：本例考查合情推理，是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知任意一个cosnx都可以表示为cosx的n次多项式．第（1）问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决；第（2）问根据所给提示3×18°＝90°－2×18°，自然想到对x进行赋值．以切比雪夫多项式为背景命制的试题不在少数，一些试题容易看出是以切比雪夫多项式作为背景的，而有一些试题虽然表面上看不出与多项式有何关联，但细想，仍与切比雪夫多项式有着紧密的联系．1.观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.【答案】962【解析】本题命题的基本着力点是切比雪夫多项式，归纳易得m＝29＝512，p＝5×10＝50.本题的难点在于无法归纳出n的值，需要抓住多项式的整体结构特征cos0＝1，得到各项的系数和为常数1，从而m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，得到n＝－400，所以m－n＋p＝962.【例2】(2017年新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良，又因为乙看过丙的成绩，所以乙可以推测出自己的成绩．因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可以推测出自己的成绩．故选D.方法点评：近几年高考课标卷命题常在实际问题中考查推理应用及逻辑判断能力.该类题型贴近生活、命题新颖.求解此类题目一般利用反设推理方法，即逐个肯定或否定，结合条件进行推理判断，从而得出正确结论．2.(2019年福建厦门模拟)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去某地参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中说对的两人是________．【答案】乙，丙【解析】甲与乙二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．专题二证明【例3】a≥0，b≥0且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：因为a≥0，b≥0，所以a＋b≥2ab.又因为a＋b＝2，所以2≥2ab.所以ab≤1.因为a＋b＝2，a≥0，b≥0，所以a2＋b2＋2ab＝4.又因为a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2≥2.答案：C方法点评：本题主要考查了综合法．综合法解决问题的关键是从“已知”(已知条件，已有定义、公理、定理)看“可知”，逐步逼近“未知”，其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件，运用综合法解题时首先要明确方向，然后可以将每个条件一一解码，使文字、符号、图形、结构实现信息迁移，化生为熟，化新为旧，从而使结论水落石出．3．(2017年天津)若a，b∈R，ab＞0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为__________．【答案】4【解析】a4＋4b4＋1ab≥4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，前一个等号成立的条件是a2＝2b2，后一个等号成立的条件是ab＝12，两个等号可以同时成立，当且仅当a2＝22，b2＝24时取等号．【例4】如图，在四面体BACD中，CB＝CD，AD⊥BD且E，F分别是AB，BD的中点，求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD．证明：(1)要证直线EF∥平面ACD，只需证EF∥AD且EF⊄平面ACD．因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线．所以EF∥AD．所以直线EF∥平面ACD．(2)要证平面EFC⊥平面BCD，只需证BD⊥平面EFC，只需证EF⊥BD，CF⊥BD，CF∩EF＝F.因为EF∥AD，AD⊥BD，所以EF⊥BD．又因为CB＝CD，F为BD的中点，所以CF⊥BD．所以平面EFC⊥平面BCD．方法点评：对于第一问采取逆向分析寻线的方法，即假设结论成立，运用线面平行的性质定理，寻找两个面的交线．对于第二问可以从结论出发，进行两次转化，一步步逆寻条件：即证面面垂直⇐线面垂直⇐线线垂直．本题主要运用了分析法，其解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知．4．已知a，b∈R，a＞b＞e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba＞ab.证明：要证ba＞ab，需证lnba＞lnab，即证alnb＞blna.其中a＞b＞e＞0.需证lnbb＞lnaa.令函数f(x)＝lnxx(x＞e)，则f′(x)＝1－lnxx2(x＞e)，显然，在x＞e时，f′(x)＝1－lnxx2＜0恒成立，即函数f(x)在区间(e，＋∞)上单调递减．又a＞b＞e，则f(b)＞f(a)，即lnbb＞lnaa.故a，b∈R，a＞b＞e时，ba＞ab成立．【例5】设函数f(x)满足2f(x)－f1x＝4x－2x＋1，数列{an}和{bn}满足下列条件：a1＝1，an＋1－2an＝f(n)，bn＝an＋1－an(n∈N*)．(1)求f(x)的解析式；(2)求{bn}的通项公式bn；(3)试比较2an与bn的大小，并证明你的结论．解：(1)∵2f(x)－f1x＝4x－2x＋1，∴2f1x－f(x)＝4x－2x＋1.解得f(x)＝2x＋1.(2)由(1)，知an＋1－2an＝2n＋1，①∴an＋2－2an＋1＝2n＋3.②②－①，可得an＋2－3an＋1＋2an＝2，即an＋2－an＋1－2(an＋1－an)＝2.∵bn＝an＋1－an，∴bn＋1＋2＝2(bn＋2)．∴数列{bn＋2}是公比为2的等比数列．又a1＝1，∴a2＝5.∴b1＝4，即b1＋2＝6.∴bn＋2＝6·2n－1，即bn＝3·2n－2.(3)由(2)，知an＋1－an＝3·2n－2.又an＋1－2an＝2n＋1，联立解得an＝3·2n－2n－3.∴2an＝6·2n－4n－6，∴2an－bn＝3·2n－4(n＋1)．当n＝1时，2a1－b1＝－20，即2a1b1；当n＝2时，2a2－b2＝0，即2a2＝b2；当n＝3时，2a3－b3＝80，即2a3b3；当n＝4时，2a4－b4＝280，即2a4b4.猜想当n≥3时，2anbn，即3·2n4(n＋1)．下面用数学归纳法证明．①当n＝3时，命题成立．②假设当n＝k(k≥3)时，命题成立，即3·2k4(k＋1)，则当n＝k＋1时，即3·2k＋1＝2×(3·2k)8(k＋1)＝8k＋8＝4k＋8＋4k4k＋8＝4(k＋2)，不等式也成立．∴综上所述，当n＝1时，2an＜bn；当n＝2时，2an＝bn；当n≥3且n∈N时，2anbn.方法点评：通过此例可看到观察、归纳、猜想、证明的思想方法．其基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出合理的猜想；最后用数学归纳法给出证明．5．设函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足an＋1＝f(an)．(1)若a1＝2，试比较a2与a3的大小；(2)若0＜a1＜1，求证：0＜an＜1对任意n∈N*恒成立．【解析】a1＝2时，a2＝f(2)＝2－sin2∈(1,2)，a3＝f(2－sin2)＝2－sin2－sin(2－sin2)．所以a3－a2＝－sina2＝－sin(2－sin2)＜0，即a2＞a3.(2)证明：①当n＝1时，结论成立；②设n＝k时，0＜ak＜1，则当n＝k＋1时，ak＋1－ak＝－sinak＜0，即ak＋1＜ak＜1，当x∈(0,1)时，f′(x)＝1－cosx＞0，即f(x)是(0,1)上的单调递增函数，所以ak＋1＝f(ak)＞f(0)＝0，即0＜ak＋1＜1.所以n＝k＋1时，结论成立．综上可得，当0＜a1＜1时，0＜an＜1对任意n∈N*恒成立．1.(2019年新课标Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【解读高考】【答案】A【解析】如果乙预测正确，则丙预测正确，不合题意；如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞甲，因为乙预测不正确，而丙＞乙正确，故只有丙＞甲不正确，所以甲＞丙，与丙＞乙，乙＞甲矛盾，不合题意．所以只有甲预测正确，得甲＞乙，乙＞丙．故选A．2．(2016年山东)观察下列等式：sinπ3－2＋sin2π3－2＝43×1×2；sinπ5－2＋sin2π5－2＋sin3π5－2＋sin4π5－2＝43×2×3；sinπ7－2＋sin2π7－2＋sin3π7－2＋…＋sin6π7－2＝43×3×4；sinπ9－2＋sin2π9－2＋sin3π9－2＋…＋sin8π9－2＝43×4×5；……照此规律，sinπ2n＋1－2＋sin2π2n＋1－2＋sin3π2n＋1－2＋…＋sin2nπ2n＋1－2＝________.【答案】43n(n＋1)【解