2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明章末复习课件 新人教A版选修2-2

章末复习知识系统整合规律方法收藏1.图形中的归纳推理问题主要涉及某些固定图形的个数，所以常常需要转化成数列问题来求解，常用的思路有两种：(1)直接查个数，找到变化规律后再猜想；(2)观察图形的变化规律.2.探索性问题是数学中的一类重要问题，如探讨数列的通项、前n项和、立体几何、解析几何中的性质等，在处理时，先采用合情推理猜想、再采用演绎推理的论证方法.3.对于较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“结论”，还是由“结论”靠向“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析或综合显得较为困难．为保证探索方向准确且过程快捷，人们又常常把分析与综合两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．把分析法与综合法两者结合起来进行思考，寻求问题的解答途径的方式就是人们通常所说的分析综合法，也就是常说的“两路夹攻，一攻就通”的证明思路.4.解决数学中的证明问题，既要掌握常用的证明方法的思维过程、特点，又要有牢固的数学基础知识．另外，还应掌握证明的一些常用方法与技巧，证明常用的方法与技巧有以下几种：(1)换元法．换元法是结构较为复杂且量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当地引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结果，使其转化为便于研究的形式．常见的有代数换元与三角换元．在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性.换元法步骤：①设元(或构造元)――→转化②求解――→等量③回代――→等价原则④检验(2)放缩法．放缩法常用于证明不等式．欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B1，B1≤B2，…，Bi≤A或A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B，再利用传递性，以达到证明的目的，这种方法叫放缩法．应用放缩法时，放缩目标必须确定，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项或利用分式的性质、不等式性质、已知不等式、函数的性质等.其放缩技巧主要有以下几种：①添加或舍去一些项，如：a2＋1|a|；nn＋1n；②将分子或分母放大(或缩小)当a，b，c0时，ab＋c＋ba＋c＋ca＋baa＋b＋c＋ba＋b＋c＋ca＋b＋c；③利用基本不等式，如：lg3·lg5lg3＋lg522＝lg15lg16＝lg4；④利用常用结论ⅰ.1k的放缩：2k＋k＋122k2k＋k－1；ⅱ.1k2的放缩(a)：1kk＋11k21kk－1(程度大)；ⅲ.1k2的放缩(b)：1k21k2－1＝1k＋1k－1＝121k－1－1k＋1(程度小)；ⅳ.1k2的放缩(c)：1k244k2－1＝212k－1－12k＋1(程度更小)；ⅴ.分式放缩还可利用真(假)分数的性质：bab＋ma＋m(ba0，m0)和bab＋ma＋m(ab0，m0).(3)判别式法．判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出结论的方法．利用判别式法证明时，应先将问题转化为与二次三项式相关的问题，再利用判别式法求解，要注意二次项系数是否为零.此外还有导数法、添项法、几何法、构造函数法等.5.用数学归纳法证题的步骤(1)证明当n取第一个值n0(例如n0＝1或n0＝2)时结论正确.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后，就可以断定结论对于从n0开始的所有正整数n都正确.应用数学归纳法证明时要注意以下几点：(1)步骤要完整、规范，即“两步一结论”缺一不可，且第二步证明一定要用到归纳假设.(2)n的第一个值n0应根据具体问题来确定.(3)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，并不一定都是证明n＝k＋1时结论也正确．如用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”，第一步应验证n＝2时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋2时，命题也成立.(4)用数学归纳法可证明有关正整数的问题，但并不是所有的正整数问题都可以用数学归纳法证明的．例如：用数学归纳法证明1＋1n(n∈N*)的单调性就难以实现.一般来说，从n＝k时的情形过渡到n＝k＋1的情形时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．做题时要注意具体问题具体分析.学科思想培优一、归纳推理和类比推理的应用例1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B．1024C．1225D．1378[解析]由图形可得三角形数构成的数列通项an＝n2(n＋1)，正方形数构成的数列通项bn＝n2，则由bn＝n2(n∈N*)可排除D.又由an＝n2(n＋1)，当an＝289时，即验证是否存在n∈N*，使得n(n＋1)＝578，经计算n不存在；同理，依次验证，有1225×2＝49×50，且352＝1225，故选C.解析[答案]C答案拓展提升解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类公式.例2在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________.[解析]在进行类比推理时，应该注意平面图形中的点、线分别与空间图形中的线、面类比；平面图形的长度、面积分别与空间图形中的面积、体积类比，结论易得.解析[答案]S21＋S22＋S23＝S24答案拓展提升类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论．通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积.二、演绎推理的应用例3将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)所有偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数；(3)通项公式an＝2n＋3的数列{an}为等差数列；(4)函数f(x)＝x3是奇函数.[解](1)所有偶数都能被2整除，(大前提)0是偶数，(小前提)0能被2整除．(结论)(2)循环小数是有理数，(大前提)0.332·是循环小数，(小前提)0.332·是有理数．(结论)答案(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)通项公式an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式an＝2n＋3表示的数列{an}为等差数列．(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f(x)，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，(大前提)函数f(x)＝x3的定义域关于原点对称，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，(小前提)所以函数f(x)＝x3是奇函数．(结论)答案拓展提升用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.三、直接证明例4设a，b，c为三角形三边，面积S＝12(a＋b＋c)，且S2＝2ab，试证：S2a.[证明](分析法)要证S2a，由于S2＝2ab，即2a＝S2b，所以只需证SS2b，即证bS，因为S＝12(a＋b＋c)，所以只需证b12(a＋b＋c)，即证ba＋c，由于a，b，c为三角形三边，所以上式显然成立，于是原命题成立.(综合法)因为a，b，c为三角形三边，所以a＋cb，所以a＋b＋c2b，又因为S＝12(a＋b＋c)，即a＋b＋c＝2S，所以2S2b，所以S·Sb·S，由于S2＝2ab，所以2abbS，即2aS，所以原命题得证.答案拓展提升知识链之间的等价联系是产生一题多解的本质所在，掌握了这个“法宝”，必然会促进解题能力的逐步提高.四、反证法例5设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.[解](1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，答案∴Sn＝a11－qn1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.答案拓展提升当命题结论中出现“至多”“至少”“不可能”“都不”“不是”等否定性词语时，常用反证法．对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.五、数学归纳法例6用数学归纳法证明：对一切n∈N*,1＋122＋132＋…＋1n2≥3n2n＋1.[证明](1)当n＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k2≥3k2k＋1，答案则当n＝k＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1，只需证3k2k＋1＋1k＋12≥3k＋12k＋3.因为3k＋12k＋3－3k2k＋1＋1k＋12＝34k＋12－1－1k＋12＝1－k＋12k＋12[4k＋12－1]答案＝－kk＋2k＋124k2＋8k＋3≤0，所以3k2k＋1＋1k＋12≥3k＋12k＋3，即1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立.答案拓展提升本题在知道结果以后，执果索因，用分析法进行证明．在解题过程中数学归纳法通常与其他方法综合运用，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法.例7已知点的序列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….(1)写出xn与xn－1，xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此猜想数列{an}的通项公式，并加以证明.[解](1)当n≥3时，xn＝xn－1＋xn－22；(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝x2＋x12－x2＝－12(x2－x1)＝－a2，a3＝x4－x3＝x3＋x22－x3＝－12(x3－x2)＝－12－12a＝14a，由此猜想an＝－12n－1a(n∈N*)，用数学归纳法证明如下：答案①当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝－120a，猜想成立；②假设当n＝k(n∈N*)时，猜想成立，