搜索
二推理与证明模块复习提升课1．推理推理合情推理归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点：是由特殊到特殊的推理演绎推理模式：三段论a.大前提——已知的一般原理；b.小前提——所研究的特殊情况；c.结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断特点：是由一般性命题到特殊性命题的推理2．证明(1)直接证明综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因综合法分析法框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……(2)间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．3．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．主题1合情推理的应用(1)观察下列一组等式1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝14n(n＋1)·(n＋2)(n＋3)．猜想：1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)＝____________________．(2)已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝bn－amn－m.现已知数列{bn}(bn0，n∈N*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________．【解析】(1)归纳可得此式是15与n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)的积．(2)在等差数列{an}中，设公差为d，则am＋n＝am＋nd＝a＋nd，am＋n＝an＋md＝b＋md，所以am＋n＝bn－amn－m.在等比数列{bn}中，设公比为q，则bm＋n＝bm·qn＝a·qn，bm＋n＝bn·qm＝b·qm，所以bm＋n＝n－mbnam.【答案】(1)15n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(2)n－mbnam(1)归纳推理的特点及一般步骤(2)类比推理的特点及一般步骤1.观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有________个小正方形．解析：设第n个图形中小正方形的个数为Sn，观察图形，当n＝1时，S1＝2＋1；当n＝2时，S2＝3＋2＋1；当n＝3时，S3＝4＋3＋2＋1；当n＝4时，S4＝5＋4＋3＋2＋1；当n＝5时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，可得Sn＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝[1＋（n＋1）]·（n＋1）2＝n2＋3n＋22.答案：n2＋3n＋222．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________．解析：在等差数列中，若Sm＝Sn，不妨设mn，则am＋1＋am＋2＋…＋an＝0，即am＋1＋an＝0.所以Sm＋n＝a1＋am＋n2(m＋n)＝am＋1＋an2(m＋n)＝0，相应地，在等比数列中，设Tm表示等比数列{bn}前m项的积，若Tm＝Tn，不妨设mn，则bm＋1·bm＋2·…·bn＝1，所以bm＋1·bn＝1，所以Tm＋n＝b1·b2·b3·…·bm＋n＝1.答案：数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*且m≠n)，则Tm＋n＝1主题2直接证明(综合法与分析法)试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤sinα1－cosα.【证明】法一：(分析法)要证2sin2α≤sinα1－cosα成立，只需证4sinαcosα≤sinα1－cosα.因为α∈(0，π)，所以sinα0.只需证4cosα≤11－cosα，即证4≤11－cosα＋4(1－cosα)．因为1－cosα0，所以11－cosα＋4(1－cosα)≥211－cosα·4（1－cosα）＝4，当且仅当cosα＝12，即α＝π3时取等号，所以4≤11－cosα＋4(1－cosα)成立，所以不等式2sin2α≤sinα1－cosα成立．法二：(综合法)因为11－cosα＋4(1－cosα)≥4，当且仅当cosα＝12，即α＝π3时取等号，所以4cosα≤11－cosα.因为α∈(0，π)，所以sinα0，所以4sinαcosα≤sinα1－cosα，所以2sin2α≤sinα1－cosα.综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．1.设x，y为正实数且x＋y＝1，求证：(1＋1x)(1＋1y)≥9.证明：左边＝(1＋x＋yx)(1＋x＋yy)＝(2＋yx)(2＋xy)＝4＋2(yx＋xy)＋1≥5＋4＝9.所以原不等式成立．2．当a≥2时，求证：a＋1－aa－1－a－2.证明：要证a＋1－aa－1－a－2，只需证a＋1＋a－2a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2(a＋a－1)2，只需证a＋1＋a－2＋2（a＋1）（a－2）a＋a－1＋2a（a－1），只需证（a＋1）（a－2）a（a－1），只需证a2－a－2a2－a，只需证－20.因为－20显然成立，所以a＋1－aa－1－a－2成立．主题3间接证明(反证法)已知a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.【证明】法一：假设a＋b2，则a2－b，所以a3(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，即a3＋b38－12b＋6b2.因为a3＋b3＝2，所以8－12b＋6b22，化简得b2－2b＋10，即(b－1)20，这与(b－1)2≥0矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.法二：假设a＋b2，则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)2(a2－ab＋b2)．因为a3＋b3＝2，所以22(a2－ab＋b2)，即a2－ab＋b21，所以1＋aba2＋b2≥2ab，从而ab1，所以a2＋b21＋ab2，故(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab2ab＋24，即－2a＋b2，这与假设a＋b2矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.(1)反证法的证题思想反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否的两个命题等价，反证法反映了“正难则反”的证题思想．(2)反证法的证题步骤已知ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．证明：假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a2－4b0与Δ2＝c2－4d0，所以a2＋c24(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)2ac，即ac2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.nn－4＋8－n（8－n）－4＝2B.n＋1（n＋1）－4＋（n＋1）＋5（n＋1）－4＝2C.nn－4＋n＋4（n＋4）－4＝2D.n＋1（n＋1）－4＋n＋5（n＋5）－4＝2解析：选A.根据题意，观察题干所给的四个等式，可得等号右边为2，左边两个分式分子之和为8，分母为对应的分子减去4，A符合．2．若m，n是正整数，则m＋nmn成立的充要条件是()A．m，n都等于1B．m，n都不等于2C．m，n都大于1D．m，n至少有一个等于1解析：选D.因为m＋nmn，所以(m－1)(n－1)1.因为m，n∈N*，所以(m－1)(n－1)∈N，所以(m－1)(n－1)＝0.所以m＝1或n＝1.3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.4.如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．解析：设第n层共有an个点，结合图形可知a1＝1，a2＝6，…，an＋1＝an＋6(n≥2，n∈N*)，则an＝6＋(n－2)×6＝6n－6(n≥2，n∈N*)，前n层所有点数之和为Sn＝1＋（n－1）[6＋（6n－6）]2＝3n2－3n＋1，故这个点阵共有3n2－3n＋1个点．答案：3n2－3n＋15．若a1＞0，a1≠1，an＋1＝2an1＋an(n＝1，2，…)．(1)求证：an＋1≠an；(2)令a1＝12，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.解：(1)证明：(反证法)．假设an＋1＝an，即2an1＋an＝an，解得an＝0，1.从而an＝an－1＝…＝a1＝0，1，与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，所以假设错误．故an＋1≠an成立．(2)a1＝12，a2＝23，a3＝45，a4＝89，a5＝1617，由此可归纳得出：an＝2n－12n－1＋1.6．设f(x)＝ax＋a－x2，g(x)＝ax－a－x2(其中a0，且a≠1)．(1)5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝a3＋a－32·a2－a－22＋a3－a－32·a2＋a－22＝a5－a－52，又g(5)＝a5－a－52，因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．证明：因为f(x)＝ax＋a－x2，g(x)＝ax－a－x2.所以g(x＋y)＝ax＋y－a－（x＋y）2，g(y)＝ay－a－y2，f(y)＝ay＋a－y2，所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝ax＋a－x2·ay－a－y2＋ax－a－x2·ay＋a－y2＝ax＋y－a－（x＋y）2＝g(x＋y)．