2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 章末复习提升课（二）课件 新人教A版选修1-2

章末复习提升课第二章推理与证明[问题展示]（教材P35习题2.1A组T2）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an（n∈N*），试猜想这个数列的通项公式.利用递推关系猜想数列通项公式【解】因为a1＝1，an＋1＝2an2＋an（n∈N*），所以a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝2×232＋23＝24，a4＝2a32＋a3＝25，所以猜想数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.是否存在常数a，b，使得an＋1＝aanban＋1对于一切n∈N*均成立？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，说明理由.【解】假设存在满足条件的常数a，b.由an＝2n＋1与an＋1＝aanban＋1得2n＋2＝a·2n＋1b·2n＋1＋1，即（a－1）n＋（2a－2b－1）＝0对于n∈N*恒成立，所以a－1＝0，2a－2b－1＝0，所以a＝1，b＝12.即存在常数a＝1，b＝12，当an＝2n＋1时，an＋1＝an12an＋1对于一切n∈N*均成立.【拓展1】直接推出原问题中数列{an}的通项公式.【解】由a1＝1，an＋1＝2an2＋an得1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12.即数列1an是首项为1a1＝1，公差为12的等差数列，所以1an＝1＋（n－1）×12＝n＋12.所以an＝2n＋1.【拓展2】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an1＋2an.（1）猜想数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式.【解】（1）由a1＝1，an＋1＝2an1＋2an得a2＝2a11＋2a1＝2×11＋2×1＝23，a3＝2a21＋2a2＝2×231＋2×23＝47，a4＝2a31＋2a3＝2×471＋2×47＝815，由此猜想an＝2n－12n－1.（2）由a1＝1，an＋1＝2an1＋2an得1an＋1＝12an＋1，所以1an＋1－2＝121an－2，所以数列1an－2是首项为1a1－2＝－1，公比为12的等比数列.所以1an－2＝－1×12n－1，所以1an＝2－12n－1＝2n－12n－1，所以an＝2n－12n－1.即所求数列的通项公式为an＝2n－12n－1.[问题展示]（教材P42练习T2）求证6＋7＞22＋5.分析法与综合法的应用【证明】要证6＋7＞22＋5，只需证（6＋7）2＞（22＋5）2，展开得13＋242＞13＋240，只需证42＞40，只需证42＞40.因为42＞40显然成立，所以6＋7＞22＋5成立.若22＋m＜5恒成立，比较m与5的大小.【解】由22＋m＜5得m＜5－22.即m＜（5－22）2＝33－202，所以m－5＜28－202＝4（7－52）.因为72－（52）2＝49－50＝－1＜0，所以7＜52，即7－52＜0，即m－5＜4（7－52）＜0，所以m＜5.设a≥0，求证：a＋1＋a＋2＞a＋a＋3.【证明】因为a≥0，所以要证a＋1＋a＋2＞a＋a＋3成立，只需证（a＋1＋a＋2）2＞（a＋a＋3）2成立.展开得2a＋3＋2a2＋3a＋2＞2a＋3＋2a2＋3a.即证a2＋3a＋2＞a2＋3a成立，只需证（a2＋3a＋2）2＞（a2＋3a）2成立.只需证a2＋3a＋2＞a2＋3a成立.即证2＞0成立，2＞0显然成立.所以a＋1＋a＋2＞a＋a＋3成立.[问题展示]（教材P37例3）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.演绎推理的应用【证明】由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即（a－c）2＝0，因此a＝c.从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝π3.所以△ABC为等边三角形.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c.若B＝π3，试比较：（1）b2与ac的大小；（2）2b与a＋c的大小.【解】因为B＝π3，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.（1）b2－ac＝a2＋c2－2ac＝（a－c）2≥0，所以b2≥ac.（2）（2b）2－（a＋c）2＝4b2－a2－2ac－c2＝4（a2＋c2－ac）－a2－2ac－c2＝3a2－6ac＋3c2＝3（a－c）2≥0，所以（2b）2≥（a＋c）2，即2b≥a＋c.【拓展1】在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若a，b，c成等比数列，求B的范围；（2）若a，b，c成等差数列，求B的范围.【解】（1）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12.即cosB≥12，又B∈（0，π），所以0＜B≤π3.（2）因为a，b，c成等差数列，所以b＝a＋c2，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－a＋c222ac＝3（a2＋c2）－2ac8ac≥3×2ac－2ac8ac＝12.即cosB≥12，又B∈（0，π），所以0＜B≤π3.【拓展2】△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C与a，b，c都成等差数列，求证△ABC为正三角形.【证明】因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，①又A＋B＋C＝π，②由①②得B＝π3.③又a，b，c成等差数列，所以b＝a＋c2，④由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，⑤将③④代入⑤得a＋c22＝a2＋c2－2ac×12.化简得a2－2ac＋c2＝0，即（a－c）2＝0，所以a＝c，⑥由④⑥得a＝b＝c，所以△ABC为正三角形.