2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修2-2

2.3数学归纳法一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P92～P95的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P92的多米诺骨牌游戏，思考以下问题：①在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？提示：能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件：(ⅰ)第一块骨牌倒下；(ⅱ)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．②你认为第二个条件的作用是什么？提示：条件(ⅱ)给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k＋1块也倒下．(2)教材P92有如下问题：对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝an1＋an(n＝1,2,3，…)，通过对n＝1,2,3,4前4项的归纳，猜出其通项公式为an＝1n.而在P93，根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明，说明猜想是正确的，其证明步骤是什么？提示：①验证n＝1时，猜想成立；②假设n＝k时，猜想成立，然后证明n＝k＋1时，猜想也成立，从而证明原猜想正确．二、归纳总结·核心必记1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．n＝k＋1第一个值n0(n0∈N*)从n0开始2．数学归纳法的框图表示三、综合迁移·深化思维(1)数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?提示：不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.(2)数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤②而缺少步骤①，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了．探究点一用数学归纳法证明等式[思考探究]利用数学归纳法证明问题的两个步骤是什么？名师指津：[典例精析]用数学归纳法证明：11×2＋13×4＋…＋12n－1·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n(n∈N*)．[解](1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋12k－1·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，11×2＋13×4＋…＋12k－1·2k＋12k＋12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋1k＋1＋k＋1k＋1＋k＋1.即当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式都成立．[类题通法]数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1时命题也成立”．在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[针对训练]1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．探究点二用数学归纳法证明不等式[典例精析]若数列{an}的通项公式为an＝2n－1，bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立．[解]由于an＝2n－1，故bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1.(1)当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式右式，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12kk＋1，则当n＝k＋1时，2＋12·4＋14·…·2k＋12k·2k＋32k＋1k＋1·2k＋32k＋1＝2k＋32k＋1，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k＋32k＋1≥k＋2，即证2k＋32≥k＋1k＋2，由基本不等式知2k＋32＝k＋1＋k＋22≥k＋1k＋2成立，故2k＋32k＋1≥k＋2成立，所以当n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对任意的n∈N*时，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立．[类题通法]用数学归纳法证明不等式应注意两点(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；(2)用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要用到比较法、分析法和配凑法等．[针对训练]2．证明不等式1＋12＋13＋…＋1n＜2n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21＝2.显然命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋12＋13＋…＋1k＜2k.则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＜2k＋1k＋1＝2k·k＋1＋1k＋1＜k＋k＋1＋1k＋1＝2k＋1k＋1＝2k＋1，即当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数n都成立．探究点三归纳—猜想—证明[典例精析]已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝12－an，(1)求a2，a3，a4；(2)推测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．[思路点拨](1)将n依次赋值1,2,3即可求出a2，a3，a4的值；(2)猜想{an}的通项公式，然后利用[探究点一]的方法证明，要注意an一定要正确．[解](1)由an＋1＝12－an可得a2＝12－a1＝12－a，a3＝12－a2＝12－12－a＝2－a3－2a，a4＝12－a3＝12－2－a3－2a＝3－2a4－3a.(2)推测an＝n－1－n－2an－n－1a.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝a1＝a，右边＝1－1－1－2a1－1－1a＝a，结论成立．②假设n＝k时，有ak＝k－1－k－2ak－k－1a成立，则n＝k＋1时，ak＋1＝12－ak＝12－k－1－k－2ak－k－1a＝k－k－1a2[k－k－1a]－[k－1－k－2a]＝k－k－1ak＋1－ka.故当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，对n∈N*，都有an＝n－1－n－2an－n－1a.[类题通法]数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳—猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：(1)计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；(2)猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．[针对训练]3．已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝Snn2n－1且a1＝13.(1)求a2，a3;(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．解：(1)a2＝S222×2－1＝a1＋a26，a1＝13，则a2＝115，类似地求得a3＝135.(2)由a1＝11×3，a2＝13×5，a3＝15×7，…，猜得：an＝12n－12n＋1.证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝12k－12k＋1，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝Snn2n－1，得ak＝Skk2k－1，ak＋1＝Sk＋1k＋12k＋1，所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)12k－12k＋1＝k2k＋1，Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－k2k＋1.因此，k(2k＋3)ak＋1＝k2k＋1，所以ak＋1＝12k＋12k＋3＝1[2k＋1－1][2k＋1＋1]，这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N*都成立．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是数学归纳法在证明等式和不等式中的应用，难点是利用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，见探究点一；(2)用数学归纳法证明不等式问题，见探究点二；(3)用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”问题，见探究点三．3．在利用数学归纳法证明问题时，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”．