2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课后课时精练课件 新人教A版选

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈N*，a≠1)”．在验证n＝1时，左边计算所得项为()A．1＋aB．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4解析当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.解析答案B答案2．设f(n)＝1＋12＋…＋1n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.1nB.1n－1n＋1C.1n－1n－1D.1n＋1答案D答案解析∵f(n＋1)＝1＋12＋…＋1n＋1n＋1，f(n)＝1＋12＋…＋1n，∴f(n＋1)－f(n)＝1n＋1.解析3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得()A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立答案A答案解析因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．解析4．下面四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋12＋13D．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4答案C答案解析A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋12＋13；D中，f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.解析5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k的取值无关D．以上答案都不对答案B答案解析由n＝k时命题成立，可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据递推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.解析6．若数列{an}的通项公式an＝1n＋12(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)为()A.n＋2n＋3B.n＋22n＋2C.n＋22n＋1D.n2n＋1答案B答案解析∵f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，f(1)＝1－a1＝1－14＝34，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)×1－19＝34×89＝23＝46，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)×1－116＝23×1516＝58.根据其结构特点可得：f(n)＝n＋22n＋1.故选B.解析二、填空题7．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1n＋1212－1n＋2(n∈N*)．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式为________．答案122＋132＋…＋1k＋12＋1k＋2212－1k＋3答案解析当n＝k＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1k＋12＋1k＋2212－1k＋3.解析8．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析当n＝3时，f(3)＝180°，当n＝4时，f(4)＝f(3)＋180°，当n＝5时，f(5)＝f(4)＋180°，当n＝k＋1时，k＋1边形是由一个k边形与一个三角形组成，∴f(k＋1)＝f(k)＋180°.解析答案180°答案9．若存在常数a，b，使式子1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋1n＋212(an＋b)对n∈N*都成立，则a，b的值分别为________、________.答案35答案解析因为存在常数a，b，使等式对所有的正整数都成立，所以当n＝1,2时等式都成立，所以得a＋b＝8,2a＋b＝11，解得a＝3，b＝5.解析三、解答题10．用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．证明①当n＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1答案＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1＝(3k＋1)·7k－1＋6(3k＋1)·7k＋3·7k＋1＝(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k.由于(3k＋1)·7k－1和9·(2k＋3)·7k都能被9整除，所以(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k能被9整除，即当n＝k＋1时，命题也成立，由①②知(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．答案B级：能力提升练11．平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，证明：交点的个数为f(n)＝nn－12.证明(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立．即f(k)＝kk－12.那么n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，答案所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝kk－12＋k＝k2＋k2＝k＋1[k＋1－1]2，即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知命题对任何n≥2，n∈N*都成立．答案12．设a0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解(1)因为a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a3＋a.猜想an＝an－1＋a(n∈N*)．答案(2)证明：①易知，n＝1时，由猜想知正确．②假设n＝k时正确，即ak＝ak－1＋a，则ak＋1＝f(ak)＝a·aka＋ak＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a.这说明，n＝k＋1时也正确．由①②知，对于任意n∈N*，都有an＝an－1＋a.答案