2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2

2．2.2反证法一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P89～P91的内容，回答下列问题．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？提示：反证法思想．二、归纳总结·核心必记1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与矛盾，或与矛盾等．正确的推理假设错误原命题成立假设定义、公理、定理、事实三、综合迁移·深化思维(1)反证法解题的实质是什么？提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确．(2)用反证法证明命题时，“a、b、c都是偶数”的否定是什么？提示：a、b、c不都是偶数．探究点一用反证法证明“否定性”命题[典例精析]已知f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)，证明方程f(x)＝0没有负实根．[解]假设方程f(x)＝0有负实根x0，则x00且x0≠－1且ax0＝－x0－2x0＋1，由0ax01⇒0－x0－2x0＋11，解得12x02，这与x00矛盾．故方程f(x)＝0没有负实根．[类题通法](1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤[针对训练]1．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.探究点二用反证法证明“至多”、“至少”型命题[典例精析]已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[解]假设三个方程都没有实数解，则三个方程的判别式都小于0，即4a2－4－4a＋30，a－12－4a20，2a2＋4×2a0⇒－32a12，a13或a－1，－2a0⇒－32a－1，这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．[类题通法]证明时常见的“结论词”与“反设词”结论词至少有一个至多有一个对所有x成立对任意x不成立至少有n个至多有n个p或q綈p且綈q反设词一个也没有至少有两个存在某个x0不成立存在某个x0成立至多有n－1个至少有n＋1个p且q綈p或綈q[针对训练]2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，所以f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确．探究点三用反证法证明“唯一性”命题[典例精析]已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[解]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．[类题通法]证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．[针对训练]3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)0，f(b)0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．证明：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)0，f(b)0，即f(a)·f(b)0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.因为f(x)在[a，b]上单调递增，所以若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)用反证法证明“否定性”命题，见探究点一；(2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见探究点二；(3)用反证法证明“唯一性”命题，见探究点三．3．要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点．